武漢的題目一直備受關注，我也來蹭蹭熱點吧。

例 （1）求證： xgeq 0 時， cos xgeq 1-frac{1}{2}x^2 恆成立；

（2）當 ageq 1 時， forall xin [0,+infty) ，證明不等式 xe^{ax}+xcos x+1geq (1+sin x)^2 恆成立。

證明 （1）令 f(x)=cos x+frac{1}{2}x^2-1 ， xgeq 0

f(x)=x-sin x ， f(x)=1-cos xgeq 0 ，因此 f(x) 在 (0,+infty) 遞增

故 f(x)geq f(0)=0 ，因此 f(x) 在 (0,+infty) 遞增

故 f(x)geq f(0)=0 ，證畢。

（2）由（1）得：當 xgeq 0 時， cos xgeq 1-frac{1}{2}x^2 ， sin xle x

又當 ageq 1 時， e^{ax}geq e^xgeq 1+x+frac{1}{2}x^2 （該式容易證明，此處省略）

因此 xe^{ax}+xcos x+1geq x(1+x+frac{1}{2}x^2)+x(1-frac{1}{2}x^2)+1

=x^2+2x+1=(x+1)^2geq (1+sin x)^2 ，證畢。

注 其中有幾個不等式值得關註：當 xgeq 0 時，根據泰勒展開式，我們有

e^xgeq 1+x+frac{1}{2}x^2 ， sin xle xle an x ， cos xgeq 1-frac{1}{2}x^2 。

最後小聲地吐槽一下...

個人覺得這道題目出得並不好，只是單純地組合一些不等式而已。

風格倒挺像我之前出過的一道題目：

Dylaaan：【052】原創題：指對三角混合不等式?

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