這道題目其實非常松,但正好出現了 61

順便祝大家六一兒童節快樂!(畢竟我還是個孩子)

x>0 時,證明: frac{e^x}{6}-ln x>frac{1}{6} 。(可能用到的數據: ln 6<frac{11}{6}

證明1 原不等式 Leftrightarrow e^x-6ln x>1 ,令 f(x)=e^x-6ln xx>0

f(x)=e^x-frac{6}{x}f(x)(0,+infty ) 遞增,又 f(1)=e-6<0

f(2)=e^2-3>0 ,故由零點定理知:存在 x_0in (1,2) ,使 f(x)=0

f(x)(0,x_0) 遞減, (x_0,+infty ) 遞增,且 x_0e^{x_0}=6Leftrightarrow ln x_0+x_0=ln 6

因此 f(x_0)=6x_0+frac{6}{x_0}-6ln 6>12-6ln 6>1 ,證畢。

證明2 原不等式 Leftrightarrow e^x-6ln x>1 ,注意到 ln xle x-1 ,故只需證明:

e^x-6x+5>0 ,令 f(x)=e^x-6x+5f(x)=e^x-6

f(x)geq f(ln 6)=11-6ln6>0 ,證畢。

事實上,可以證明 e^x-6ln x>2

@秘匿封神


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