呆哥數學每日一題 ——典型而又比較難的數列題目
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呆哥解析:
這是一道比較典型而又比較難的數列題目。
首先看到數列，我們第一反應是：求通項
但是，這個數列卻沒有辦法求通項
碰到這種沒法求通項的題目我們怎麼辦呢？
我們肯定是要對遞推式做一些變化的
可以看出遞推式是個對勾的形式，我們嘗試平方一下：
為什麼這裡平方一下呢？
因為平方之後可以多出一個常數，這個後面是會有用的
根據遞推式，我們發現，每一項都會比上一項增加一點，所以這個數列是遞增的，也就是說這個數列會越來越大
所以我們把平方的倒數項捨棄掉，也就是進行放縮，這樣誤差就減小了，得出結果的效果肯定是最好的
然後會得到下面這個重要不等式
這個關係式非常像什麼呢？
沒錯，就是等差數列
只不過等差數列是等號，而這裡是大於號而已
實際上，我們可以把它看作這種數列：an的平方的公差大於2的數列
所以會有：
右邊就是公差為2，首項為1的等差數列！
這裡的妙處在於：把一個公差大於2的等差數列放小了
到這裡，我們順著思路代入平方後的關係式放縮：
是不是非常熟悉了呢？沒錯，左邊就是裂項求和了
如果我們對兩邊求和，會得到：
那這個分數是怎麼求和的呢？這裡我希望大家記住一個重要結論：
套用結論後，我們發現這恰好有題目給出來的數值條件！
直接代入就可以馬上得出答案了：
答案也就是真命題
明日預告：
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