Macaulay久期的计算公式为 D={frac{sum_{t=1}^{T}{PV(c_t)cdot t}}{B}}

T是债券的到期期限； PV(c_t) 是未来第t期现金流的现值；B是债券当前的市场价格（或者说现值PV），因此有 B=sum_{t=1}^{T}{PV(c_t)}

以零息债券为例。零息债券的久期=到期时间，即 D=frac{PV(c_t)}{B}cdot t=1cdot t=t ，其中c_t 是第t期的现金流入，即零息债券本金的偿还。

而零息债券的价格（或者现值）有: B=PV(c_t)=frac{c_t}{(1+r_t)^t} ，其中 r_t 是期限为t的即期利率（等于该债券的到期收益率）。

对上式两边求微分，对照B的表达式，有 dB=-frac{c_tcdot t}{(1+r_t)^{t+1}}d(r_t)=-frac{Bcdot t}{1+r_t}d(r_t)

把B除到左边，得： frac{dB}{B}=-frac{t}{1+r_t}d(r_t) ，令债券价格变动率 R=frac{dB}{B} ，t即债券久期D，令修正久期 D^*=frac{D}{1+r_t} ， d(r_t)=Delta r

因此有债券价格变化率 R=-frac{D}{1+r_t}Delta r=-D^*Delta r ，由于r的变化和债券价格的变动率非线性关系，只有 Delta r 小到可以以直代曲，即r变化非常小时，可以用修正久期来近似计算债券价格的变动率。（直接债券相当于若干零息债券的组合，关系可类推）

然后考察「凸性」，当r变化幅度较大时，只使用修正久期会达不到「以直代曲」的效果，从而产生误差。因此对零息债券价格进行泰勒展开：B=B(r_t)+B(r_t)Delta r+frac{B(r_t)}{2}(Delta r)^2+o((Delta r)^2)

再移项、同除，把左边改造成债券价格变动比例R的形式，略掉余项，有：

R=frac{B-B(r_t)}{B(r_t)}=frac{B(r_t)}{B(r_t)}Delta r+frac{1}{2}cdot frac{B(r_t)}{B(r_t)}(Delta r)^2

先看右边第一个分式，前面求过的 dB 这里就用上了，有：

frac{B(r_t)}{B(r_t)}=frac{dB(r_t)}{d(r_t)}/B(r_t)=-frac{B(r_t)cdot t}{1+r_t}/B(r_t)=-D^*

可以看出第一个分式就是修正久期，然后考察第二个分式，即求二阶导数：

frac{B(r_t)}{B(r_t)}=frac{d^2B(r_t)}{d(r_t)^2}/B(r_t)=frac{c_tcdot t(t+1)}{(1+r_t)^{t+2}}/B(r_t)

=frac{B(r_t)cdot t(t+1)}{(1+r_t)^{2}}/B(r_t)=frac{t(t+1)}{(1+r_t)^2}

凸性(Convexity)可以取首字母，所以令 C=frac{t(t+1)}{(1+r_t)^2} ，那么就（近似地）有 R=-D^*Delta r+frac{1}{2}cdot C(Delta r)^2 ，这样就可以在更大的范围里计算债券价格的变动率。

然后推广到直接债券，由于直接债券有t期现金流，所以可看做由t份零息债券形成的组合，每一份零息债券组合的权重为 w_t=frac{PV(c_t)}{B} ，先分别计算单个现金流的凸性和变动率，然后总体为其加权平均数，即 R_A=sum_{i=1}^{t}{w_icdot R_i}

直接债券整体的修正久期和凸性都满足类似的关系，即 D^*_A=sum_{i=1}^{t}{w_icdot D^*_i} ， C_A=sum_{i=1}^{t}{w_icdot C_i} 。从而 R_A=-D^*_Acdot Delta r+frac{1}{2}cdot C_Acdot (Delta r)^2

最后整理一下关于Macaulay久期和修正久期的概念问题。

张亦春、郑振龙的《金融市场学》认为，现在的久期概念是利率敏感性资产价值变动的百分比对利率变动的一阶敏感性，即 D=-frac{dP/P}{dy} 。Macaulay久期不是久期，只是久期计算公式中的一部分。修正久期才真正考察了债券价值的利率风险。

蒋崇辉、马永开指出，修正久期不能简单理解为对Macaulay久期的「修正」，修正久期的本质是债券价格相对于市场基准利率变化的敏感性。

张宗新的《投资学》同样提到久期最初表示平均还款期限，但实际运用中久期表示的是债券价格的波动性。

参考资料：

[1] 张亦春，郑振龙，林海. 金融市场学 第5版[M]. 北京：高等教育出版社, 2017.12.

[2] 兹维·博迪. 华章教材经典译丛 投资学 原书第10版[M]. 北京：机械工业出版社, 2017.07.

[3] 张宗新编著. 投资学 第3版[M]. 上海：复旦大学出版社, 2013.12.

[4] 蒋崇辉,马永开.债券久期和凸性的计算方法探讨[J].电子科技大学学报(社会科学版),2014,(第2期).


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