Macaulay久期的計算公式為 D={frac{sum_{t=1}^{T}{PV(c_t)cdot t}}{B}}

T是債券的到期期限； PV(c_t) 是未來第t期現金流的現值；B是債券當前的市場價格（或者說現值PV），因此有 B=sum_{t=1}^{T}{PV(c_t)}

以零息債券為例。零息債券的久期=到期時間，即 D=frac{PV(c_t)}{B}cdot t=1cdot t=t ，其中c_t 是第t期的現金流入，即零息債券本金的償還。

而零息債券的價格（或者現值）有: B=PV(c_t)=frac{c_t}{(1+r_t)^t} ，其中 r_t 是期限為t的即期利率（等於該債券的到期收益率）。

對上式兩邊求微分，對照B的表達式，有 dB=-frac{c_tcdot t}{(1+r_t)^{t+1}}d(r_t)=-frac{Bcdot t}{1+r_t}d(r_t)

把B除到左邊，得： frac{dB}{B}=-frac{t}{1+r_t}d(r_t) ，令債券價格變動率 R=frac{dB}{B} ，t即債券久期D，令修正久期 D^*=frac{D}{1+r_t} ， d(r_t)=Delta r

因此有債券價格變化率 R=-frac{D}{1+r_t}Delta r=-D^*Delta r ，由於r的變化和債券價格的變動率非線性關係，只有 Delta r 小到可以以直代曲，即r變化非常小時，可以用修正久期來近似計算債券價格的變動率。（直接債券相當於若干零息債券的組合，關係可類推）

然後考察「凸性」，當r變化幅度較大時，只使用修正久期會達不到「以直代曲」的效果，從而產生誤差。因此對零息債券價格進行泰勒展開：B=B(r_t)+B(r_t)Delta r+frac{B(r_t)}{2}(Delta r)^2+o((Delta r)^2)

再移項、同除，把左邊改造成債券價格變動比例R的形式，略掉餘項，有：

R=frac{B-B(r_t)}{B(r_t)}=frac{B(r_t)}{B(r_t)}Delta r+frac{1}{2}cdot frac{B(r_t)}{B(r_t)}(Delta r)^2

先看右邊第一個分式，前面求過的 dB 這裡就用上了，有：

frac{B(r_t)}{B(r_t)}=frac{dB(r_t)}{d(r_t)}/B(r_t)=-frac{B(r_t)cdot t}{1+r_t}/B(r_t)=-D^*

可以看出第一個分式就是修正久期，然後考察第二個分式，即求二階導數：

frac{B(r_t)}{B(r_t)}=frac{d^2B(r_t)}{d(r_t)^2}/B(r_t)=frac{c_tcdot t(t+1)}{(1+r_t)^{t+2}}/B(r_t)

=frac{B(r_t)cdot t(t+1)}{(1+r_t)^{2}}/B(r_t)=frac{t(t+1)}{(1+r_t)^2}

凸性(Convexity)可以取首字母，所以令 C=frac{t(t+1)}{(1+r_t)^2} ，那麼就（近似地）有 R=-D^*Delta r+frac{1}{2}cdot C(Delta r)^2 ，這樣就可以在更大的範圍裏計算債券價格的變動率。

然後推廣到直接債券，由於直接債券有t期現金流，所以可看做由t份零息債券形成的組合，每一份零息債券組合的權重為 w_t=frac{PV(c_t)}{B} ，先分別計算單個現金流的凸性和變動率，然後總體為其加權平均數，即 R_A=sum_{i=1}^{t}{w_icdot R_i}

直接債券整體的修正久期和凸性都滿足類似的關係，即 D^*_A=sum_{i=1}^{t}{w_icdot D^*_i} ， C_A=sum_{i=1}^{t}{w_icdot C_i} 。從而 R_A=-D^*_Acdot Delta r+frac{1}{2}cdot C_Acdot (Delta r)^2

最後整理一下關於Macaulay久期和修正久期的概念問題。

張亦春、鄭振龍的《金融市場學》認為，現在的久期概念是利率敏感性資產價值變動的百分比對利率變動的一階敏感性，即 D=-frac{dP/P}{dy} 。Macaulay久期不是久期，只是久期計算公式中的一部分。修正久期才真正考察了債券價值的利率風險。

蔣崇輝、馬永開指出，修正久期不能簡單理解為對Macaulay久期的「修正」，修正久期的本質是債券價格相對於市場基準利率變化的敏感性。

張宗新的《投資學》同樣提到久期最初表示平均還款期限，但實際運用中久期表示的是債券價格的波動性。

參考資料：

[1] 張亦春，鄭振龍，林海. 金融市場學 第5版[M]. 北京：高等教育出版社, 2017.12.

[2] 茲維·博迪. 華章教材經典譯叢 投資學 原書第10版[M]. 北京：機械工業出版社, 2017.07.

[3] 張宗新編著. 投資學 第3版[M]. 上海：復旦大學出版社, 2013.12.

[4] 蔣崇輝,馬永開.債券久期和凸性的計算方法探討[J].電子科技大學學報(社會科學版),2014,(第2期).


推薦閱讀：
相關文章