2+1 维引力论(1)：介绍

本文是笔者阅读Edward Witten的相关文章的随笔。

2+1 维时空具有2维的空间维度和一维的时间维度，它可以看做是真实的时空在某一空间坐标上的切片，而且要求是，无论我们在何处取，得到的结果除去旋转外相同。记真实的4维时空度量为黎曼度量，我们总可以找到一个等距变换群，它的轨道是一条类空曲线。并且2+1维时空的Einstein-Hilbert作用量与Yang-Mills理论中的Chern-Simons作用量联系紧密(考虑到3维对应的Chern-Simons密度为 $Tr[Fwedge A-frac{1}{3}Awedge Awedge A]$ ，如果我们将规范势看做是联络1-形式，那么相应的就是曲率2-形式)。因此，2+1维引力的第一个有趣之处在于，引力与规范理论是等价的，而4维则没有这一性质，正因如此，所有 2+1 维引力canonical 体系 [1][2] 的约束方程都将完全解耦。至于3维Chern-Simons规范理论与扭结理论的关系，可参见文献 [3]。通过对2+1维引力加以重整化摄动，我们可以得到2+1维的量子引力。借助它我们可以进一步理解经典量子力学中的奇点问题。

定理1.1：在真空2+1维时空中不存在引力波，并且它不可以被重整化。

对于近线性时空，我们有，其中是Minkowski时空的修正项(小量)。根据线性Einstein方程，利用 $(g_{ij})approx (eta_{ij})=diag(1,-1,-1,-1)$ ，我们有

$partial^ipartial_igamma_{00}=left(frac{partial^2}{partial t^2}-frac{partial^2}{(partial x^1)^2}-frac{partial^2}{(partial x^2)^2} ight)gamma_{00}=0$ ，

这正是经典的二维波方程。考虑到场的渐进平坦性，对于全时空无源的情况，我们只有唯一解，模去规范变换， .

定理1意味著，给定任何合理的边界条件，场中自由粒子的相空间是有限维的，并且有可能不可被量子化。

定义1.2：记场中所有可能的约束方程的解为，相空间是广义坐标和广义速度所取值的空间的集合，再模去规范变换。

事实上，记我们考虑的2+1为时空为，上述的相空间可以记为

如果引力方程不存在波动解，那么相空间是有限维的。

2+1 维引力的第二个有趣之处在于，是二维曲面，因此我们可以方便地讨论它的拓扑性质。令为一亏格为的紧致光滑二维曲面，它有基本群。

定理1.3 (Fuchsian model)：令是具有常负曲率度量的上半复平面，有群作用。令是同构于的的子群，那么是一个亏格为的双曲黎曼面。

令表示2+1维的Minkowski时空，有度量，这里我们取与光锥内部一致。记future light cone为，past light cone 为，此时Poincare群为 $ISO(2,1)=R^{2,1} times SO(2,1)$ ，其中表示3维伪转动Lorentz群，与同构， $R^{2,1}$ 表示3维平移。模去长度，可以得到一个超曲面：与同构，因此，也可以看做是作用在超曲面上的Lorentz群的子群，那么也是一个亏格为的黎曼面。既然光锥是平坦的，是保度量的，因此是平坦的。类似地，也是平坦的。这些平坦时空的每一个切片都是一个亏格为的黎曼面。而我们知道，这些结构可以用个复参数( 个实参数)描述。

为了构造所有的平坦时空，我们考虑如下的同态映射。令是的universal cover，一个中不可缩为一点的环是从圆到的映射，满足 . 将水平提升到上未必是闭的，模去等距变换( 中的某个元素 )，它将依然是闭的。我们记此元素为，那么根据cover的定义，显然和是同态的。因此，上的平坦结构提供了一个重要的映射：从基本群到Poincare群的同态。记基本群的像为，它是的子群，因此有平坦时空 .

我们知道，量子化2+1维引力的问题等价于考虑从基本群到Poincare群的同态的模空间。更广义地，考虑宇宙学常数，是从基本群到李群上的同态。对于，时空在局部上是de-Sitter空间，是；对于则是反de-Sitter空间，是。笔者近期完成的一篇文章中指出，考虑宇宙学常数，时空度量是Einstein的，并且宇宙学常数可以看做是Ricci标量在上的平均，因此这里也可以有有趣的讨论。这里有个生成元，考虑到共轭，此同态的模空间维数应为。以为例，模空间的维数为，正是之前得到的实参数的两倍，原因则是，我们在这里考虑了平移的生成元。