2+1 維引力論(1)：介紹

本文是筆者閱讀Edward Witten的相關文章的隨筆。

2+1 維時空具有2維的空間維度和一維的時間維度，它可以看做是真實的時空在某一空間坐標上的切片，而且要求是，無論我們在何處取，得到的結果除去旋轉外相同。記真實的4維時空度量為黎曼度量，我們總可以找到一個等距變換羣，它的軌道是一條類空曲線。並且2+1維時空的Einstein-Hilbert作用量與Yang-Mills理論中的Chern-Simons作用量聯繫緊密(考慮到3維對應的Chern-Simons密度為 $Tr[Fwedge A-frac{1}{3}Awedge Awedge A]$ ，如果我們將規範勢看做是聯絡1-形式，那麼相應的就是曲率2-形式)。因此，2+1維引力的第一個有趣之處在於，引力與規範理論是等價的，而4維則沒有這一性質，正因如此，所有 2+1 維引力canonical 體系 [1][2] 的約束方程都將完全解耦。至於3維Chern-Simons規範理論與扭結理論的關係，可參見文獻 [3]。通過對2+1維引力加以重整化攝動，我們可以得到2+1維的量子引力。藉助它我們可以進一步理解經典量子力學中的奇點問題。

定理1.1：在真空2+1維時空中不存在引力波，並且它不可以被重整化。

對於近線性時空，我們有，其中是Minkowski時空的修正項(小量)。根據線性Einstein方程，利用 $(g_{ij})approx (eta_{ij})=diag(1,-1,-1,-1)$ ，我們有

$partial^ipartial_igamma_{00}=left(frac{partial^2}{partial t^2}-frac{partial^2}{(partial x^1)^2}-frac{partial^2}{(partial x^2)^2} ight)gamma_{00}=0$ ，

這正是經典的二維波方程。考慮到場的漸進平坦性，對於全時空無源的情況，我們只有唯一解，模去規範變換， .

定理1意味著，給定任何合理的邊界條件，場中自由粒子的相空間是有限維的，並且有可能不可被量子化。

定義1.2：記場中所有可能的約束方程的解為，相空間是廣義坐標和廣義速度所取值的空間的集合，再模去規範變換。

事實上，記我們考慮的2+1為時空為，上述的相空間可以記為

如果引力方程不存在波動解，那麼相空間是有限維的。

2+1 維引力的第二個有趣之處在於，是二維曲面，因此我們可以方便地討論它的拓撲性質。令為一虧格為的緊緻光滑二維曲面，它有基本羣。

定理1.3 (Fuchsian model)：令是具有常負曲率度量的上半複平面，有羣作用。令是同構於的的子羣，那麼是一個虧格為的雙曲黎曼面。

令表示2+1維的Minkowski時空，有度量，這裡我們取與光錐內部一致。記future light cone為，past light cone 為，此時Poincare羣為 $ISO(2,1)=R^{2,1} times SO(2,1)$ ，其中表示3維偽轉動Lorentz羣，與同構， $R^{2,1}$ 表示3維平移。模去長度，可以得到一個超曲面：與同構，因此，也可以看做是作用在超曲面上的Lorentz羣的子羣，那麼也是一個虧格為的黎曼面。既然光錐是平坦的，是保度量的，因此是平坦的。類似地，也是平坦的。這些平坦時空的每一個切片都是一個虧格為的黎曼面。而我們知道，這些結構可以用個復參數( 個實參數)描述。

為了構造所有的平坦時空，我們考慮如下的同態映射。令是的universal cover，一個中不可縮為一點的環是從圓到的映射，滿足 . 將水平提升到上未必是閉的，模去等距變換( 中的某個元素 )，它將依然是閉的。我們記此元素為，那麼根據cover的定義，顯然和是同態的。因此，上的平坦結構提供了一個重要的映射：從基本羣到Poincare羣的同態。記基本羣的像為，它是的子羣，因此有平坦時空 .

我們知道，量子化2+1維引力的問題等價於考慮從基本羣到Poincare羣的同態的模空間。更廣義地，考慮宇宙學常數，是從基本羣到李羣上的同態。對於，時空在局部上是de-Sitter空間，是；對於則是反de-Sitter空間，是。筆者近期完成的一篇文章中指出，考慮宇宙學常數，時空度量是Einstein的，並且宇宙學常數可以看做是Ricci標量在上的平均，因此這裡也可以有有趣的討論。這裡有個生成元，考慮到共軛，此同態的模空間維數應為。以為例，模空間的維數為，正是之前得到的實參數的兩倍，原因則是，我們在這裡考慮了平移的生成元。