NBA常规赛已经进入后半程，激烈的季后赛马上就要上演，除了良好的团队战术能力和个人能力之外，良好的罚球有时能帮助球队取得关键时刻的胜利（尤其是针对罚球不好球员的“砍人”战术），那么完美罚球背后有怎么样的数学逻辑那？

　　大约20年前，我和我的同事Dr. Chau Tran开发了一种在计算机上模拟数百万篮球轨迹的方法。

　　我们去向所在地北卡罗来纳州立大学（North Carolina State University）的教练和助理教练寻求帮助，并告诉他们我们有非常仔细地研究篮球投篮的不同寻常的能力。

　　他们的第一个问题很简单：“什么是最好的罚球？”射手应该瞄准篮筐的前部还是后部？射手是高是矮对此有影响吗？

　　数学提供了独特的视角。它加快了查看最佳投篮背后的模式的时间。大多数情况下，我们发现的事情是球员和教练员已经知道的——但每隔一段时间，我们都会有新的见解。

　　模拟数百万次的投篮

　　从数学的角度来看，篮球是一个轨迹游戏。这些轨迹的独特之处在于，当球在空中飞行时球的运动没有多大变化，但当球与篮筐或篮板碰撞时，球的运动在毫秒内快速发生变化。

　　为了模拟数百万的轨迹而不致使代码运行过长的时间，我们尝试了任何我们能想到的技巧。我们解决了如何从适度变化的运动转变为快速变化的运动，例如当球在篮筐或篮板上弹起时。我们学会了如何将大量的轨迹转化为统计概率。我们甚至创造了虚构的轨迹，其中球奇迹般地穿过除一个以外的所有物理障碍物（篮筐，篮板，背板），借此我们可查看它首先碰撞的位置。

　　罚球是我和我同事详细研究的第一种投篮。在胶着的比赛中，球队可以在罚球线上定输赢。更重要的是，罚球是无可争议的，所以在罚球上的完美变现可以带来巨大的回报。顶级球队往往罚球表现良好。

　　我们的项目可以告诉我们球员在罚球时有什么机会——并帮助我们弄清他正在做的是正确还是错误的。

　　划分以便分析罚球

　　我们研究了大约五年的罚球。

　　我们通过模拟和观看电视镜头获得的第一件事情是，具有相同稳定性的球员能够以75％至90％的准确率投出罚球。不同的是，90％的球员在正确的投篮中保持一致——即最好的轨迹。

　　一个罚球的命运在球离开球员指尖的瞬间就已经注定了，所以我们仔细观察了球的“投射条件”。球位于地面以上的某个高度。它有一个向后旋转的速度（称为回旋），并且有一个投射速度和一个投射角度。由于球员永远不会以同样的方式投篮，所以小的差异就决定了球员的稳定性。

　　我们发现约3赫兹的回旋是最好的，超过此并不会起促进作用。球到达篮筐大约需要1秒的时间，所以3赫兹相当于从球离开球员双手到球抵达篮筐时在空中旋转了三次。

　　接下来，假设球员在距离地面7英尺处投球，约52度的投射角度是最好的。在那个角度，投射速度是最低的，并且投射成功率是最高的。在52度时，球员对角度的增加或减小不会对投篮的成功产生巨大影响。

　　然而，投射速度恰恰相反。这是球员要控制的最难的变量。太慢地投球，射程会很短；太快地投球，射程会很长。球员需要在投球的过程中记住整个身体的运动，以始终如一地用相同速度投射球。

　　在其它条件相同的情况下，从更高位置投球的球员有更高的投篮命中率。这很有趣，因为我们在北卡罗来纳州立大学（N.C. State）的教练以及曾经和我交谈过的其他人说，较高的球员往往比矮个球员的罚球更差。似乎矮个球员必须更努力。

　　最后的投射条件是最令人惊讶的：罚球的瞄准点。我们发现球员应该将球对准篮筐后部。基本上，篮筐的后部比篮筐的前部更宽大。在7英尺的投篮高度处，球与篮筐后部之间的间隙应小于2英寸。不论是在低高度还是在高高度投射，小间隙都是最好的。

　　得到的结论

　　那么这对于那些希望改善罚球的球员来说意味着什么呢？

　　我们的研究表明，球员应该把球瞄准篮筐的中心以外。尽可能以高角度发射球并且离地面越高越好。（球在弧线的最高点应该到达篮板的顶部。）把球对齐以消除侧角。并尝试以平稳的身体动作投射球，以产生一致的投射速度。

　　在过去的几年里，我们扩展了我们的工作，以研究最好的打板投篮撞击篮板的位置，并为想要完善它的人开发了一种工具。

　　随着锦标赛的临近，我想到了球赛激烈的竞争性，以及它是如何真正成为一个关于英寸的比赛的。作为一名老球员，和许多人一样，我喜欢看比赛，并且每隔一段时间都会看到一次完美的罚球。

　　本文最初发表于The Conversation。

　　关于作者

　　Larry Silverberg

　　Larry Silverberg是北卡罗来纳州立大学机械与航空工程系（Mechanical and Aerospace Engineering, North Carolina State University）教授。

　　来源：环球科学