函數不等式大招——凹凸性翻轉~
寫在最前面：先說清楚，該法由海明大佬 @未灬秋色 原創，大家若想更加深入瞭解，可瀏覽專欄「海明的放縮筆記」
海明的放縮筆記
這篇文章相當於我對他思想的一個發展和傳播（主要是當初我看他的文章期初也沒搞懂這個方法，考慮到海明大佬的巨大影響力，以及很多和我一樣起初沒看懂的同學，或者是根本沒聽過這個方法的同學，我萌生了寫這篇文章的想法）
好久沒寫函數和不等式類的文章了~
文章的開頭由下面這篇文章的一個例題談起：
未灬秋色：一個含參不等式的多解
求證：當
時，不等式
恆成立.
下面是海明給出的解法：
3、含參反轉（原創）
反轉最擅長「一行」，給左側一加一減，恰好湊出兩個能求極小值的函數：右側整理一下就是右邊了. 其實這個解法我在2017年年初就已經給出過了，但是不知道為什麼市面上沒有流傳起來，可能是看了也不知道怎麼講給學生吧.
其實這個解法正是他原創的——「凹凸性反轉」
我真正瞭解到還是在他的另一篇文章裡面：
未灬秋色：不等式證明的一大誤區
在上一篇文章當中提到了含參反轉的方法，評論區有同學提出來等號取不取得到的問題. 說實話提出這個問題讓我覺得非常的匪夷所思.
很多時候，我們需要證明函數，但並不代表就要證明
的最小值大於等於
，因為大多數情況下，
的零點是解不出來的. 凹凸性反轉就是為瞭解決這一情況而產生的.
對於這種導數零點不可求的不等式，我們可以（當然這裡並不糾結如何做到）將其轉化為證明
如果我們移項，變成，然後通過證明
（這個命題顯然會更強），來得到結論. 但是，很明顯的是，
取最值的位置跟
取最值的位置一定不一樣，否則，我們移項構造
，那
與
（同時也是
）取最值的位置就是相同的，也就是導數零點可求，那幹嘛不直接求導證明呢？
，其中
和
都有最小值（不妨設分別是
和
），那麼
就只是簡單的應用了不等式的基本性質：若
、
，則
，僅此而已.
那麼從這裡大致可以窺探到這個「凹凸性反轉」的奧祕：把整個函數 分拆成多個函數
之和，分別取
的最小值，則這個整體
.
至於為什麼要叫「凹凸性反轉」這個名字呢，我認為這和我的「極偏轉公式」（小小打個廣告）一樣，從結論的形態上面來說的。一般凹函數指下凹函數，凸函數指上凸函數，而下凸函數在給定區間能找到最小值，上凸函數在給定區間能找到最大值，通過上面我引用塊的這句話就能明白：
對於這種導數零點不可求的不等式，我們可以（當然這裡並不糾結如何做到）將其轉化為證明
，然後通過證明
（這個命題顯然會更強），來得到結論.
好，下面來幾道例題：
例題來源（以下給出的解答為個人列印後在學校寫的時候原創）：
未灬秋色：常見導數放縮題匯總及解答
這個題我沒有創新的地方，不過可以指出的是：
在上面證明 情形時， 對於：
，這一步運用了凹凸性反轉。
其中： 可以用導函數的極小值在
處取得證明。
解：不等號左邊等價於 ：
第一個括弧裡面用導數，極小值在 取得：
，
第二個括弧裏只需用基本不等式即可，在 取得：
.
由於等號在不同處取得，綜上所述，原不等式成立。
解：原不等式等價於證明： .
不等號左邊等價於：
上面第一個不等號用了基本的放縮不等式： ,由切線不等式：
得到。
第一個括弧裡面用導數，極大值在 取得：
.
第二個括弧裡面用到的是「有界放縮」：等號在端點處 取得。
有一種辦法叫做界性放縮.
界性放縮的意思就是，某個部分，在某個範圍內有界，就直接放成它的界.這樣做的目的在於減少變數，因為界是固定的，放成界就是放成了定值. 像這裡，前兩個都是負的，最後一個需要是正的，一個正的要幹掉兩個負的，那麼我用界性放縮把負的都放成一個界，合併在一起，就是一個負的，一正一負打起架來就容易多了...
該思想來源於海明大佬的另一篇文章。
未灬秋色：考前寫點「有用」的東西由於等號在相同處取得，綜上所述，原不等式成立。
凹凸性反轉就說到這吧，最後還是希望大家能把這個方法掌握，若是對放縮有興趣的同學，不妨把海明大佬的那篇文章裡面的題目都打下來自己獨立做一遍，每日幾題，相信我，不過五天，你對導數放縮將會有一個新的認知（以下是個人的列印的筆記資料，手機像素不行，只是給大家一個感覺~）！
最後，一併推薦Dylaaan大大 @Dylaaan 的一篇關於導數含參不等式的放縮方法的文章，一個星期前本人的數學週考在機緣巧合下考察到了一個這種類型的題目，用該法輕鬆解決，希望大家有興趣的話不妨也去看看~
Dylaaan：【導數壓軸題】「偏導數」與含參不等式
還提一句，凹凸性反轉和隱零點在初等程度上面的放縮是可以說能等價的，但在比較談及精度的情況下，只可以說各有優劣，而且二者可以配合使用。不過個人更喜歡凹凸性反轉~
下面是Dylaan大大的一篇不錯的介紹隱零點法的文章
Dylaaan：【導數壓軸題】「隱零點」的處理策略
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