函数不等式大招——凹凸性翻转~
写在最前面:先说清楚,该法由海明大佬 @未灬秋色 原创,大家若想更加深入了解,可浏览专栏「海明的放缩笔记」
海明的放缩笔记这篇文章相当于我对他思想的一个发展和传播(主要是当初我看他的文章期初也没搞懂这个方法,考虑到海明大佬的巨大影响力,以及很多和我一样起初没看懂的同学,或者是根本没听过这个方法的同学,我萌生了写这篇文章的想法)
好久没写函数和不等式类的文章了~
文章的开头由下面这篇文章的一个例题谈起:
未灬秋色:一个含参不等式的多解求证:当时,不等式恒成立.
下面是海明给出的解法:
3、含参反转(原创)
反转最擅长「一行」,给左侧一加一减,恰好凑出两个能求极小值的函数: 右侧整理一下就是右边了. 其实这个解法我在2017年年初就已经给出过了,但是不知道为什么市面上没有流传起来,可能是看了也不知道怎么讲给学生吧.
其实这个解法正是他原创的——「凹凸性反转」
我真正了解到还是在他的另一篇文章里面:
未灬秋色:不等式证明的一大误区在上一篇文章当中提到了含参反转的方法,评论区有同学提出来等号取不取得到的问题. 说实话提出这个问题让我觉得非常的匪夷所思.
很多时候,我们需要证明函数 ,但并不代表就要证明 的最小值大于等于 ,因为大多数情况下, 的零点是解不出来的. 凹凸性反转就是为了解决这一情况而产生的.对于这种导数零点不可求的不等式,我们可以(当然这里并不纠结如何做到)将其转化为证明 ,然后通过证明 (这个命题显然会更强),来得到结论. 但是,很明显的是, 取最值的位置跟 取最值的位置一定不一样,否则,我们移项构造 ,那 与 (同时也是 )取最值的位置就是相同的,也就是导数零点可求,那干嘛不直接求导证明呢?
如果我们移项,变成 ,其中 和 都有最小值(不妨设分别是 和 ),那么 就只是简单的应用了不等式的基本性质:若 、 ,则 ,仅此而已.
那么从这里大致可以窥探到这个「凹凸性反转」的奥秘:把整个函数 分拆成多个函数 之和,分别取 的最小值,则这个整体 .
至于为什么要叫「凹凸性反转」这个名字呢,我认为这和我的「极偏转公式」(小小打个广告)一样,从结论的形态上面来说的。一般凹函数指下凹函数,凸函数指上凸函数,而下凸函数在给定区间能找到最小值,上凸函数在给定区间能找到最大值,通过上面我引用块的这句话就能明白:
对于这种导数零点不可求的不等式,我们可以(当然这里并不纠结如何做到)将其转化为证明 ,然后通过证明 (这个命题显然会更强),来得到结论.
好,下面来几道例题:
例题来源(以下给出的解答为个人列印后在学校写的时候原创):
未灬秋色:常见导数放缩题汇总及解答