導函數 f(x) 中含有函數 f(x)，怎麼求 f(x)？
比如已知
，怎麼知道 f(x) 的形式含有 e 的 x 次方呢？以及詳細形式是什麼？怎麼推導的？
數學渣渣，希望過程比較詳細。
首先，這種東西叫做常微分方程。題主留的題目為一個一階一次常係數非齊次線性常微分方程。
題目：
沒有給定初值，無法使用 變換求解。只好用最常規的方式求解（我寫一個最詳細的解法，這種解法適用於全部的一階一次常係數非齊次線性常微分方程）。
解：
首先要了解一個常微分方程解的結構：一個非齊次常微分方程的通解等於它的一個特解加上它對應的齊次方程的通解，即：
其中 為齊次方程的通解，而
非齊次常微分方程的一個特解。
首先使用分離變數法求解方程 對應的齊次方程：
的通解。設 ，則易知方程
的平凡解為零函數
。非平凡解為：
對於一階常微分方程的特解有一種十分有效的求解方法—— 變易常數法。就本題而言，其具體操作方法是將求出的
中的常數
變易為參數
的函數
，並將特解定義為：
然後將式 帶回到式
可得：
由於我們只需要一個特解，所以我們只需一個 即可，所以
可以為：
所以特解為：
所以方程 的通解為：
借題發揮，拓展一下。對於一個一般形式的一階常微分方程：
其通解為：
其中，方程 對應的其次方程
的通解為：
方程 的一個特解為：
題主可以當做練習自行求解一番。
化為
，
一個毫不猶豫的念頭便是，兩邊同乘以指數型
，
從而構造
。
兩邊積分得
,
於是有
。
這其實就是微分方程，而且這個微分方程還是一階非齊次線性微分方程。
可參考答主的另一篇回答：
為什麼說常數變易法的本質是變數代換法??www.zhihu.com
按該回答一開始解析常數變易法的本質的思路，可以搞明白為何會出現類似 的形式。當然，我們用湊微分法也能搞定，而且這還是個常係數方程（微分方程中的係數是和待求原函數及其各階導數相乘的函數）。
問題中的這個微分方程：
把原函數和各階導數放在等式的一邊：
等式左邊的一項中有導數，另一項是原函數，那麼我們可以通過乘一個函數把左邊改成乘法求導的模樣。設兩邊同乘函數 ，這個函數需要保證
，令
，得
只需要一個特解即可，因為我們只是想用這個
讓問題中的微分方程中出現函數乘法求導的樣子，於是
．
等式兩邊乘 ，得
兩邊對
取積分，得
整理，得
就這樣求出來了。
如果按高中來說
左右兩邊各有函數和導數
你結合求導運演算法則，即兩函數乘積或比的導數的求法，再考慮一下e^x求導是本身 比較特殊 套形式就好了
而且 你舉的例子太具有一般性了
一般高中題給你的等式是比較容易看出怎麼變形的，是不太需要自己補項的，但是如果變形完了還是差點意思，就嘗試補常數 一次項或者e^x
建議讓老師幫你找幾道例題做 體會一下 放一百個心不會考你不能用技巧做只能用大學知識解的 考出來那就是事故了^_^
抱歉如果你不是高中生忽略本回答就ok
這邊建議你複習高等數學或常微分方程
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