怎麼解釋 lim(x→∞) (sinx＋x)/x 不能用洛必達？

首先，洛必達法則的使用前提是分式為，，更廣義的就是這種形式。
然而真正使用洛必達法則的時候必須保證使用完之後分式仍為未定式，或者直接得出確定答案，才叫使用成功。否則洛必達法則失效。
通俗一點說就是我們在做題的時候是嘗試著使用洛必達法則，如果使用之後極限不存在並不能說明原極限不存在。
現在對題中所給極限使用洛必達法則得出不存在，即此處洛必達法則失效

正確解法為

類似的例子還有很多，比如
求函數在處的導數。
錯誤解法：
通過洛必達法則，得出該點導數不存在。
這也是洛必達法則失效的一種情況。
正確解法：
這一步強行湊出

筆者也沒想到這個回答居然有這麼多的閱讀量，這裡就再補充一個洛必達法則失效的例子吧
：求極限：
錯誤解法：顯然該極限也滿足洛必達法則使用條件：
得出來的極限也不存在，但原極限肯定是存在的。
正確解法：
這裡極限的存在性就不證明瞭，畢竟不是數學分析裡面的題目注重嚴謹邏輯，對於非數學專業來說，主要注重計算技巧。
由海涅定理轉化為數列極限：

這道題也是比較經典的洛必達法則失效的情況。

筆者看見了評論區有人在問廣義洛必達法則即這種形式，這種形式可以在分子極限不易計算，但分母極限趨於無窮時就可以根據導數極限來求解原極限。

定理（廣義洛必達法則）設和在上可導，若滿足
1.
2.
3. ( 為有限數或者 ；)則有
證明：僅考慮為有限數的情況，由於，所以，對任意的，存在，使得當時有
因為，有 中值定理可知，對任意的，存在或使得，因此，於是當時，有

整理得：

由於，所以存在，使得當時，有，，因此，對任意的，存在，當時，有，即有。

這種形式的洛必達法則運用較少，但是在分子極限不易計算時較好用，但也需要注意其失效的情況。
再補充一處，現在《數學分析》第五版中也明確說明瞭洛必達法則的使用情況，分母為無窮即可使用。

高贊答案從定理的使用條件出發，邏輯上簡要說明瞭洛必達法則不能逆運用。
在這裡我給出更具體更本質一些的解釋。

一、原因

先說原因：微觀上波動，宏觀上未必波動；微觀上一致，宏觀上必定一致。洛必達法則以分子分母的變化速度（導函數）之比的極限為微觀上的條件，以此推出宏觀上的結論，但這個條件並不是必要條件。
打個比方，想讓容器中糖水的平均濃度趨於，並不需要在每個時刻都向容器中加入濃度接近的糖水。

本質在於，導函數是通過積分加總的方式來影響它的原函數的，因此導函數偶爾出現的一些小偏差可以被總體趨勢「沖淡」，甚至在積分中自行相互抵消，這時原式的極限仍是存在的。但只要這些小偏差總是「偶爾存在」，洛必達法則的使用條件就無法滿足。
總而言之：洛必達法則並不知道，不符合趨勢的變化在累積加總之後會變成什麼樣子。任何錯誤地逆運用洛必達法則而得出「原式極限不存在」的反例都可以用這句話解釋。
一個「偏差相互抵消」的例子以及更具體的說明如下：
為什麼有時 ∞/∞ 型用洛必達法則後會不成立？本質原因是什麼？?
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對原因的說明至此結束，下面是個人給出的兩種證明。

二、證明

許多直觀的想法其實都能在證明裡找到影子。
這裡給出分母趨於無窮情形下的洛必達法則的一個證明。個人認為這個證明相對直觀一些。

這裡僅給出時的證明。
其他情形（）思路是相同的。
證明：
由達布定理（導函數的介值性）及，可知；

從而當充分大時，

對任意給定的，上式兩邊對取極限，由極限的保不等式性可得

由的任意性得，證畢。

三、另一個證明

再給出基於柯西中值定理的另一個證明。

證明：
結合柯西中值定理，對任意給定的與位於同一區間的，有

注意這裡是先給定再對取極限。
當時，，給定使得，則充分小時，由的任意性知；
當時，，給定使得，則充分大時，由的任意性知，證畢。

所有極限題請標註自變數趨於多少
如果是趨於0 則可以用洛必達
如果是趨於無窮大請參考這篇回答
為什麼有時∞/∞型用洛必達法則後會不成立？本質原因是什麼？?
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你和你的問題讓我覺得可笑
正經人誰不寫極限就開始洛必達啊（大聲）。

1 洛必達法則要0/0或∞/∞

2 即使拆開計算sinx/x的極限使用洛必達也進行了循環論證吧。因為sinx的導數是cosx的證明過程就要用到sinx/x的極限為1這個重要極限的。

補充一點，要拆開來計算極限的話，還要證明兩個極限都是存在的，這樣更嚴謹

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