本人高中生，并且在自学逻辑中...

为了区分对象语言和形式语言，我们一般不在数学中采用形式语言内部的符号。

比如说，

  • 我们说「如果 A，那么 B」，而不说 A o B；
  • 我们说「对于任意的 x」，而不说 forall x；
  • 我们说「存在唯一的 c，使得……」，而不说 exists!c ildots；
  • 我们说「如果 B 并且 C，那么 D 或者 E」，而不说 Bwedge C o Dvee E；

    • 严格是很重要的，但是无谓的严格是不必要的。数学语境自动提供了辞汇的严格性。除了个别的情况之外，形式语言并不因此能够比数学语言更为精确严格。

    这里的原因是，我们的论证是写给人看，而不是写给机器检查的。非形式的数学语言毕竟更贴近我们的自然语言，因此更加让人觉得亲近。而且我们的证明并不只有这种硬生生的部分，还有一些帮助理解的部分，比如说「为了证明……，我们需要证明如下引理」，或者「要得到……，只需得到」——这些东西当然可以还原成逻辑符号，但是一旦还原过去了，你的证明就不再是按照展现想法的方式呈现，最后的情况可能是别人读了一大堆，知道你说的是对的——「但是你是怎么想到的呢？」显然，非形式的语言比形式的语言更能和这些让证明变得流畅的辞汇组合在一起。

    （不一般的情况可能是什么样的呢？比如说有一个数学论证里面用到了一个稍微复杂的命题逻辑的推理形式，可能是 ( pwedge(qvee r)) o( (pwedge q)vee (pvee r)) 或者更复杂的情况。而为了提醒读者这一点（毕竟并不是所有命题逻辑重言式都是显然的），作者可能会将其写出来，但是说实话我没见过多少这样的例子，而且这个地方中间是 o 还是 Rightarrow 也往往并不影响什么，除非本身是一个涉及到很多蕴含符号的式子。）

    但是另一方面，数学里面又有很多长链形式的推理，这种推理写成

    假设……，那么……，那么……，那么根据定义……，那么根据引理 2……，显然……，因此……

    的形式有点蠢。你把「因此」和「那么」换成 herefore 也不见得会好看多少。所以有些时候我们希望使用 Rightarrow 这个符号来对应这种情景。这个符号的另一个好处是可以写出理由。如： overset{ ext{def $Delta$}}Longrightarrow 。

    那么问题来了，这里是不是只有形式语言和元语言的区别呢？不是。或者说，元语言层面上我们允许更加宽松的表达方式，因此不太严格。

    A_1Rightarrow A_2 RightarrowldotsRightarrow A_n 意味著什么？

  • 首先，它没有断定 A_1,ldots,A_n 中的任何一个命题，每个 A_i 都是作为前提引入到具体的那一步中的。
  • 其次，它通常隐含如下信息： ( A_i o A_{i+1}) 是真的，并且是以一种显然的方式为真——如果不显然，那么我们可能会写成 A_2overset{(*)}Rightarrow A_3 或者在换行的情况下：A_2Rightarrow A_3 (*)\ Rightarrow A_4——最后再补一个关于 * 步骤的证明。「显然」的要求非常重要，不满足这一点的证明可以说是跳步。很多学生浑水摸鱼的习惯就是把前提的等价形式写一下，结论的等价形式写一下，中间用个箭头连接著——这不是证明谢谢，这是抄题目。
  • 更进一步，对于任意的 i<j，A_i o A_j 为真，当然，一般来说作为读者，我们关心的是 A_1 o A_n 是不是真的。
  • 最后是一个非常琐碎的技术问题，如果我们将这里的 Rightarrow 背后的东西理解成一种证明论意义上的 sequent 标识符，那么这个地方意味著 Cut 规则是有效的：cfrac{ARightarrow Bqquad BRightarrow C}{ARightarrow C}

    （当然我还没见过哪个XX主义数学家特意站出来反对 Cut 规则，但是在非形式推理的情况下，滑坡谬误和秃头悖论的可能诱因之一是 Cut 规则的无限制使用。）

    • 至于 A_1 o A_2 o ldots o A_n，它一般来说表达的是，嗯，非常奇葩的：

    A_1 o (A_2 o (ldots o ( A_{n-1} o A_n)ldots))

    这等价于：

    (igwedge_{i=1}^{n-1} A_i) o A_n

    更重要的是，用逻辑符号连接的命题更像是一个数字（或者说，一个算式，如 2+2 imes 5 ）而不是一个『判断』。你通过操作把两个东西连接在一起，但是却没有表达自己的态度。命题本身不带有语力（force）而只带有内容。在证明中，语力是由日常语言中的那些东西提供的，比如说「因为 A」表示了对于 A 的断定，而「如果 A」则没有表示断定（但是也表示了一点东西，我忘记是啥了）。而 p o q 给人的感觉则和 2+2 的感觉差不多。它只表达了纯粹的命题内容。要断定它，表达 pRightarrow q 我们似乎要说 「 p o q为真」才行。

    【分析哲学家们可能会提出各种说法来说这个地方的这种感觉是虚假的，比如说收缩论者会认为「是真的」并不包含判断的语力，因为在「如果 p 是真的，那么……」里面我们并没有对 p 下判断。但是要我说的话这种直觉应该还是有一定解释力的：虽然当一个人在用日常语言说「『如果天下雨，那么地会湿』为真」的时候我们会觉得这里的「为真」是冗余的，即，他所说的东西就是「如果天下雨，那么地会湿」，但是这和在用形式符号写「『天下雨 o 地会湿』为真」的时候，给人的感觉是不同的——什么叫做他所说的东西就是「天下雨 o 地会湿」？】

    有人非要怼我也是醉了：

    GTM 001 讲 Axiomatic Set Theory 没办法，不可能不用一阶逻辑符号。

    002

    003

    004

    005

    006

    007

    008 同样是 Axiomatic Set Theory

    009

    010

    011

    012

    013

    014

    015

    016

    017

    018

    剩下的不想贴图了，自己去找 GTM 看。

    那么有没有除了集合论和数理逻辑（如 GTM022）之外依旧频繁出现 forall/exists 的教材呢？

    按照某人的说法，分析教材里面很喜欢的 varepsilon-delta 应该是一个很好的例子。

    但是比如说

    025 Real and Abstract Analysis,

    058 p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions

    103 Complex Analysis,

    142 Real and Functional Analysis,

    174 Foundations of Real and Abstract Analysis

    178 Nonsmooth Analysis and Control Theory

    等都不是这个风格。

    我相信有使用这种写法的作者，毕竟我记得我看到过。但是一般来说，我们不使用 forall ，而用「对于任意的」，或者说，「for all」。

    二者要回答的问题不同.

    命题逻辑中的"→"符号表示了一个命题.比如说p→q,代表的是"p为真时,q为真"这么一个命题.而这个命题可能是真的,也可能是假的.我们在给出命题"p→q"时,目的就是为了去判别命题的真假.(或者以此命题为依据来判别其他命题的真假.)

    而数学中的"?"符号表示了一个对事实的陈述,意思就是当我们说"p?q"时相当于断言"命题p→q为真".而我们使用"?"符号是为了以"p→q"这个已经被证明过的命题为前提,去判断p或q的真实性,而不是去研究命题本身的真值.

    泻药。我看了高赞回答，「一般不在数学中采用形式语言内部的符号」这个论断我支持，但是他举得几个例子，怕是对「数学符号」有所误解。例如他举的例子任意量词、存在量词，这恰恰是数学中频繁使用的各类符号，这个不仅是在高中数学的应试，就连微积分等高等数学都要频繁使用。不过也无所谓，反正怎么看怎么学是自己的事情。这里简单说一下逻辑「蕴涵」与数学「蕴涵」两个我觉得相对比较重要的地方。共同点：表现形式都为「q，if p」。在这种形式上的相同还有其他的内容相似，但是有人已经说过了，不赘述。差异处：逻辑学蕴涵和数学蕴涵最大的差异在于两者使用时潜在的意蕴不同。

    数学的蕴涵在使用时潜在蕴含了因果律在内，而逻辑学的蕴涵并不是所有人都认为潜在蕴涵有因果律的。

    「q，if p」这个形式在古希腊的菲罗那里表述为「完善的条件句是一种不是开始于真而结束于假的条件句」。也就是说除了p且┐q其他都是完善的条件句，都是逻辑意义上的「蕴涵」。这其中p与q未必是具有某种必然因果性。这个逻辑形式基本延续到现在，包括弗雷格在《概念文字》中构造的「蕴涵」符号也具有这一特征。并且弗雷格特地指出「蕴涵」不一定具有因果关系。但是在我们使用数学的蕴涵时，我们往往企图用来表述某种演绎的过程。例如，「已知6≥5，如果5≥4，6≥4」。

    「→」可以理解为一个命题运算符，它把命题p和命题q合成为一个新命题「p→q」。

    类比：代数式「8」与代数式「6」被「＋」合成为新的代数式「8+6」，它具有一个数值14。

    「?」本身不是一个命题运算符号，而是断定命题之间关联的一个符号，被?连接的两个命题构成的新式子「p?q」不是命题逻辑里的合式公式（当然它依然是命题，但不是被命题逻辑形式化的命题，而是在层次上高于命题逻辑的命题）。

    类比：被＝连接的两个代数式8、6，其连接结果「8＝6」不是一个代数表达式，它不再具有数值，而是一个假命题。

    对于"A=&>B"，你只能认为这个命题（在包含它的「公理系统」中）「一定是对的」

    对于"A-&>B"，你可以在「公理系统」中探讨这个命题究竟对不对

    这个不用太介意，逻辑的←有自己的定义，数学是可以直接拿来用的！要知道，数学符号的设计，很大程度度上是相容于逻辑的～

    如果你是高中生，请记住他们根本就不是一个意思。

    具体的。以后慢慢学。

    我是学习中国哲学的系统逻辑思维的。中国哲学是首先建立一个系统模型，实际上也是一个宇宙模型。然后运用这个模型去套挂具体的事物。所以不用类似「→「这样的符号。如果用的话也是要用一个跨越系统的符号∩。详细论述请看《系统逻辑思维》一书。

    简单理解的话，前者是「蕴含」，A→B，「A蕴含B」，是一个整体；后者可以理解为「如果……那么……」，如果A那么B，前件可以形式上推出后件，A和B是不同的命题。

    1、→和?，这两个符号都都表示--u-共相=普遍=全称，英文的这三个词与c-宇其宙-u-有著极为密切的关系；

    2、但中国人连自己的--白马非马--所蕴涵的逻辑学关系还没弄清，更不要说西方的符号逻辑学啦！

    3、譬如，把符号逻辑置换成汉语-----天下雨 o地会湿----这个表述一定是错误的：

    4、水=共相，雨=殊相，雾=殊相，等等，英国哲学家摩尔就曾经用--下雨-raining-这个词；

    5、首--raining--尾俩字母都表示殊相--雨滴，而其间的-a-则暗示水，

    6、所以，那句话应该翻译成---天下雨水 o地会湿：水=共相，地=共相，箭头表示两者的关系。

    补充：

    甲：我注意到有不少人，把符号逻辑或数理逻辑--老是岔向数学问题；殊不知，逻辑学在近代只是借助数学符号表达逻辑关系，说世界本原Principium与宇宙本体Onta的关系；

    乙：以日常语言暗示哲学的逻辑学原理，数理或符号终究要回到日常语言；如弗雷格《涵义与指称》、维特根斯坦《逻辑哲学论》、等等；

    丙：数学形而下，如果岔向数学问题，则与哲学-of-逻辑学的本质，或者说与形而上学的任务南辕北辙！

    推荐阅读：
    查看原文 >>
    相关文章