本人高中生，並且在自學邏輯中...

為了區分對象語言和形式語言，我們一般不在數學中採用形式語言內部的符號。

比如說，

  • 我們說「如果 A，那麼 B」，而不說 A o B；
  • 我們說「對於任意的 x」，而不說 forall x；
  • 我們說「存在唯一的 c，使得……」，而不說 exists!c ildots；
  • 我們說「如果 B 並且 C，那麼 D 或者 E」，而不說 Bwedge C o Dvee E；

    • 嚴格是很重要的，但是無謂的嚴格是不必要的。數學語境自動提供了辭彙的嚴格性。除了個別的情況之外，形式語言並不因此能夠比數學語言更為精確嚴格。

    這裡的原因是，我們的論證是寫給人看，而不是寫給機器檢查的。非形式的數學語言畢竟更貼近我們的自然語言，因此更加讓人覺得親近。而且我們的證明並不只有這種硬生生的部分，還有一些幫助理解的部分，比如說「為了證明……，我們需要證明如下引理」，或者「要得到……，只需得到」——這些東西當然可以還原成邏輯符號，但是一旦還原過去了，你的證明就不再是按照展現想法的方式呈現，最後的情況可能是別人讀了一大堆，知道你說的是對的——「但是你是怎麼想到的呢？」顯然，非形式的語言比形式的語言更能和這些讓證明變得流暢的辭彙組合在一起。

    （不一般的情況可能是什麼樣的呢？比如說有一個數學論證裡面用到了一個稍微複雜的命題邏輯的推理形式，可能是 ( pwedge(qvee r)) o( (pwedge q)vee (pvee r)) 或者更複雜的情況。而為了提醒讀者這一點（畢竟並不是所有命題邏輯重言式都是顯然的），作者可能會將其寫出來，但是說實話我沒見過多少這樣的例子，而且這個地方中間是 o 還是 Rightarrow 也往往並不影響什麼，除非本身是一個涉及到很多蘊含符號的式子。）

    但是另一方面，數學裡面又有很多長鏈形式的推理，這種推理寫成

    假設……，那麼……，那麼……，那麼根據定義……，那麼根據引理 2……，顯然……，因此……

    的形式有點蠢。你把「因此」和「那麼」換成 herefore 也不見得會好看多少。所以有些時候我們希望使用 Rightarrow 這個符號來對應這種情景。這個符號的另一個好處是可以寫出理由。如： overset{ ext{def $Delta$}}Longrightarrow 。

    那麼問題來了，這裡是不是只有形式語言和元語言的區別呢？不是。或者說，元語言層面上我們允許更加寬鬆的表達方式，因此不太嚴格。

    A_1Rightarrow A_2 RightarrowldotsRightarrow A_n 意味著什麼？

  • 首先，它沒有斷定 A_1,ldots,A_n 中的任何一個命題，每個 A_i 都是作為前提引入到具體的那一步中的。
  • 其次，它通常隱含如下信息： ( A_i o A_{i+1}) 是真的，並且是以一種顯然的方式為真——如果不顯然，那麼我們可能會寫成 A_2overset{(*)}Rightarrow A_3 或者在換行的情況下：A_2Rightarrow A_3 (*)\ Rightarrow A_4——最後再補一個關於 * 步驟的證明。「顯然」的要求非常重要，不滿足這一點的證明可以說是跳步。很多學生渾水摸魚的習慣就是把前提的等價形式寫一下，結論的等價形式寫一下，中間用個箭頭連接著——這不是證明謝謝，這是抄題目。
  • 更進一步，對於任意的 i<j，A_i o A_j 為真，當然，一般來說作為讀者，我們關心的是 A_1 o A_n 是不是真的。
  • 最後是一個非常瑣碎的技術問題，如果我們將這裡的 Rightarrow 背後的東西理解成一種證明論意義上的 sequent 標識符，那麼這個地方意味著 Cut 規則是有效的：cfrac{ARightarrow Bqquad BRightarrow C}{ARightarrow C}

    （當然我還沒見過哪個XX主義數學家特意站出來反對 Cut 規則，但是在非形式推理的情況下，滑坡謬誤和禿頭悖論的可能誘因之一是 Cut 規則的無限制使用。）

    • 至於 A_1 o A_2 o ldots o A_n，它一般來說表達的是，嗯，非常奇葩的：

    A_1 o (A_2 o (ldots o ( A_{n-1} o A_n)ldots))

    這等價於：

    (igwedge_{i=1}^{n-1} A_i) o A_n

    更重要的是，用邏輯符號連接的命題更像是一個數字（或者說，一個算式，如 2+2 imes 5 ）而不是一個『判斷』。你通過操作把兩個東西連接在一起，但是卻沒有表達自己的態度。命題本身不帶有語力（force）而只帶有內容。在證明中，語力是由日常語言中的那些東西提供的，比如說「因為 A」表示了對於 A 的斷定，而「如果 A」則沒有表示斷定（但是也表示了一點東西，我忘記是啥了）。而 p o q 給人的感覺則和 2+2 的感覺差不多。它只表達了純粹的命題內容。要斷定它，表達 pRightarrow q 我們似乎要說 「 p o q為真」才行。

    【分析哲學家們可能會提出各種說法來說這個地方的這種感覺是虛假的，比如說收縮論者會認為「是真的」並不包含判斷的語力，因為在「如果 p 是真的，那麼……」裡面我們並沒有對 p 下判斷。但是要我說的話這種直覺應該還是有一定解釋力的：雖然當一個人在用日常語言說「『如果天下雨，那麼地會濕』為真」的時候我們會覺得這裡的「為真」是冗餘的，即，他所說的東西就是「如果天下雨，那麼地會濕」，但是這和在用形式符號寫「『天下雨 o 地會濕』為真」的時候，給人的感覺是不同的——什麼叫做他所說的東西就是「天下雨 o 地會濕」？】

    有人非要懟我也是醉了：

    GTM 001 講 Axiomatic Set Theory 沒辦法，不可能不用一階邏輯符號。

    002

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    007

    008 同樣是 Axiomatic Set Theory

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    018

    剩下的不想貼圖了，自己去找 GTM 看。

    那麼有沒有除了集合論和數理邏輯（如 GTM022）之外依舊頻繁出現 forall/exists 的教材呢？

    按照某人的說法，分析教材裡面很喜歡的 varepsilon-delta 應該是一個很好的例子。

    但是比如說

    025 Real and Abstract Analysis,

    058 p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions

    103 Complex Analysis,

    142 Real and Functional Analysis,

    174 Foundations of Real and Abstract Analysis

    178 Nonsmooth Analysis and Control Theory

    等都不是這個風格。

    我相信有使用這種寫法的作者，畢竟我記得我看到過。但是一般來說，我們不使用 forall ，而用「對於任意的」，或者說，「for all」。

    二者要回答的問題不同.

    命題邏輯中的"→"符號表示了一個命題.比如說p→q,代表的是"p為真時,q為真"這麼一個命題.而這個命題可能是真的,也可能是假的.我們在給出命題"p→q"時,目的就是為了去判別命題的真假.(或者以此命題為依據來判別其他命題的真假.)

    而數學中的"?"符號表示了一個對事實的陳述,意思就是當我們說"p?q"時相當於斷言"命題p→q為真".而我們使用"?"符號是為了以"p→q"這個已經被證明過的命題為前提,去判斷p或q的真實性,而不是去研究命題本身的真值.

    瀉藥。我看了高贊回答，「一般不在數學中採用形式語言內部的符號」這個論斷我支持，但是他舉得幾個例子，怕是對「數學符號」有所誤解。例如他舉的例子任意量詞、存在量詞，這恰恰是數學中頻繁使用的各類符號，這個不僅是在高中數學的應試，就連微積分等高等數學都要頻繁使用。不過也無所謂，反正怎麼看怎麼學是自己的事情。這裡簡單說一下邏輯「蘊涵」與數學「蘊涵」兩個我覺得相對比較重要的地方。共同點：表現形式都為「q，if p」。在這種形式上的相同還有其他的內容相似，但是有人已經說過了，不贅述。差異處：邏輯學蘊涵和數學蘊涵最大的差異在於兩者使用時潛在的意蘊不同。

    數學的蘊涵在使用時潛在蘊含了因果律在內，而邏輯學的蘊涵並不是所有人都認為潛在蘊涵有因果律的。

    「q，if p」這個形式在古希臘的菲羅那裡表述為「完善的條件句是一種不是開始於真而結束於假的條件句」。也就是說除了p且┐q其他都是完善的條件句，都是邏輯意義上的「蘊涵」。這其中p與q未必是具有某種必然因果性。這個邏輯形式基本延續到現在，包括弗雷格在《概念文字》中構造的「蘊涵」符號也具有這一特徵。並且弗雷格特地指出「蘊涵」不一定具有因果關係。但是在我們使用數學的蘊涵時，我們往往企圖用來表述某種演繹的過程。例如，「已知6≥5，如果5≥4，6≥4」。

    「→」可以理解為一個命題運算符，它把命題p和命題q合成為一個新命題「p→q」。

    類比：代數式「8」與代數式「6」被「＋」合成為新的代數式「8+6」，它具有一個數值14。

    「?」本身不是一個命題運算符號，而是斷定命題之間關聯的一個符號，被?連接的兩個命題構成的新式子「p?q」不是命題邏輯里的合式公式（當然它依然是命題，但不是被命題邏輯形式化的命題，而是在層次上高於命題邏輯的命題）。

    類比：被＝連接的兩個代數式8、6，其連接結果「8＝6」不是一個代數表達式，它不再具有數值，而是一個假命題。

    對於"A=&>B"，你只能認為這個命題（在包含它的「公理系統」中）「一定是對的」

    對於"A-&>B"，你可以在「公理系統」中探討這個命題究竟對不對

    這個不用太介意，邏輯的←有自己的定義，數學是可以直接拿來用的！要知道，數學符號的設計，很大程度度上是相容於邏輯的～

    如果你是高中生，請記住他們根本就不是一個意思。

    具體的。以後慢慢學。

    我是學習中國哲學的系統邏輯思維的。中國哲學是首先建立一個系統模型，實際上也是一個宇宙模型。然後運用這個模型去套掛具體的事物。所以不用類似「→「這樣的符號。如果用的話也是要用一個跨越系統的符號∩。詳細論述請看《系統邏輯思維》一書。

    簡單理解的話，前者是「蘊含」，A→B，「A蘊含B」，是一個整體；後者可以理解為「如果……那麼……」，如果A那麼B，前件可以形式上推出後件，A和B是不同的命題。

    1、→和?，這兩個符號都都表示--u-共相=普遍=全稱，英文的這三個詞與c-宇其宙-u-有著極為密切的關係；

    2、但中國人連自己的--白馬非馬--所蘊涵的邏輯學關係還沒弄清，更不要說西方的符號邏輯學啦！

    3、譬如，把符號邏輯置換成漢語-----天下雨 o地會濕----這個表述一定是錯誤的：

    4、水=共相，雨=殊相，霧=殊相，等等，英國哲學家摩爾就曾經用--下雨-raining-這個詞；

    5、首--raining--尾倆字母都表示殊相--雨滴，而其間的-a-則暗示水，

    6、所以，那句話應該翻譯成---天下雨水 o地會濕：水=共相，地=共相，箭頭表示兩者的關係。

    補充：

    甲：我注意到有不少人，把符號邏輯或數理邏輯--老是岔向數學問題；殊不知，邏輯學在近代只是藉助數學符號表達邏輯關係，說世界本原Principium與宇宙本體Onta的關係；

    乙：以日常語言暗示哲學的邏輯學原理，數理或符號終究要回到日常語言；如弗雷格《涵義與指稱》、維特根斯坦《邏輯哲學論》、等等；

    丙：數學形而下，如果岔向數學問題，則與哲學-of-邏輯學的本質，或者說與形而上學的任務南轅北轍！

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