我打算寫兩三篇小文，目標是你看罷了以後就知道我博士這幾年都幹了些啥。別人博士論文一百兩百三百頁，我總覺得我個位數頁就夠了。

曲線入門

  • 曲線：三維空間里的曲線可用 extbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) 表示。這個t可以是隨便什麼參數，你可以說t取0到1，或0到2派。我們最喜歡的參數是長度。當t是曲線長度的時候， |dot{r}(t)|^2=1 。
  • 曲率(curvature)和撓率(torsion)：衡量曲線咋拐彎的。他們很容易計算，只要在某一個t處知道曲線的1，2，3階導數是啥，這倆量就能精確的算出來了。具體咋算？曲率是 kappa(t)=frac{|dot{ extbf{r}}(t) imesddot{ extbf{r}}(t)|}{|dot{ extbf{r}}(t)|^3} , 撓率是 au(t)=-{{left({dot{ extbf{r}}(t) imes ddot{ extbf{r}}(t)} ight)cdot dddot{ extbf{r}}(t)} over {left|{dot{ extbf{r}}(t) imesddot{ extbf{r}}(t)} ight|^{2}}} 。
  • 特別的，你要是找張平整的白紙在上面畫個曲線，那這個（二維）曲線撓率是0，你光知道曲率就行了。這時你把曲率積分會得到一個角，等於這曲線拐了多大彎。

你們一定很納悶，不是控制qubit么，說這些曲線幹嘛呢？沒事兒，之後你們就知道了。

量子信息（的一小部分內容的）入門

  • 量子信息基本單元是qubit, 可寫成二維向量， |phi angle={egin{pmatrix}a\bend{pmatrix}} 這樣。a和b都是複數並且 |a|^2+|b|^2=1 。
  • 一個qubit隨著時間的演化|phi(t) angle ，可以用2乘2的矩陣U(t)描述 |phi(t) angle=U(t)|phi(0) angle 。這個U(t), 可以看成是個邏輯門。比如說你想弄一個非門，他長 {egin{pmatrix}0&1\1&0end{pmatrix}} 這樣。
  • U(t)滿足薛定諤方程， dot{U}(t)=-i H(t) U(t) 。
  • H(t)也是二乘二的矩陣，可以寫成 H(t)=frac{1}{2}egin{pmatrix}h_z(t)&h_x(t)-ih_y(t)\h_x(t)+ih_y(t)&-h_z(t)end{pmatrix} 。
  • 但是H(t)長啥模樣和選的坐標系也有關。通過選取一個好的轉圈圈的參考系，你能把哈密頓量裡面的某一項變成零。比如說，我們總可以令 h_z(t)=0。
  • 但其實你也不能真把它變成零。因為系統會有雜訊，使得 h_z(t) 是一個取值比較小的，你不知道的函數。因為這函數你不知道，你也沒法選個轉圈的參考系把它消掉。
  • 所以這個H(t)我們可以一般認為長這樣 H(t)=H_0(t)+delta H(t) . H_0(t) 就是上面那個h_z(t)=0之後的矩陣， delta H(t) 是上面那個只保留對角項並且取值比較小的矩陣。
  • h_x(t) 和 h_y(t) 是我們的控制哈密頓量，也就是說，這倆函數長什麼樣子我們說了算。
  • 但也不完全是我們說了算。比如說，你要想讓它長成 delta(t) 這貨，就夠嗆。

我們的目標是：設計出來 h_x(t) 和 h_y(t)，使得儘管有這個雜訊 delta H(t) 的存在，演化到時間T得到的演化矩陣，也就是你想製作的這個邏輯門，U(T)，跟沒有這個雜訊的時候演化出來的U(T)，長的越像越好，最好長得一樣一樣的那就是最好的。

請在評論里反饋一下我寫的這些的可讀性，你覺得容不容易看懂，謝謝。

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