一、 L-S測度的記法

該記法最容易搞混亂的，如果一段時間不看或者不用實變函數了，就又蒙了。我們來看看L-S測度的定義：

(1) 是 上單調增加、右方連續實函數。這個定義，我們可以看出這個函數的特點，就是一般的一元函數，自變數和因變數都是實數。還有一個特點就是單調增加右連續，為什麼規定這麼一個函數呢？看下面就知道了；

(2) 對於任何 , 如果 是 的初等分解，規定

為 上的測度。從這個測度的定義可以看出，規定 的性質是為了保證獲得的 集函數 滿足測度的性質，也就是非負性；

(3) 顯然 是一般的一元實函數，而 是測度，其自變數是集合，因變數是實數，這是完全不同性質的函數。但是下面的記法要謹慎的記住了，這就是為了方便，將 簡寫成 ，將 簡寫成 。這還是比較容易理解的，但是時間一長，忘記了就會出問題：怎麼這個 函數的自變數既可以是實數，也可以是集合？那就麻煩了！其實根據自變數是實數還是集合，就能立刻判斷出這個函數是 函數還是 測度，問題是時間長了就將這檔子事情給忘記了。這事還沒有完，因為還有外側度。

(4) 既然有 測度，就有 外測度，這個外側度記為，如果是這個外側度針對L-S可測集，則又稱為L-S測度，本來這個外側度(包含L-S測度)應該這樣表示 ，後來簡化成 ，最後乾脆簡化成 。這樣一來，這個 就有了四重身份，可能是一般的實函數 ,也可能是 測度 ，也可能是 的外測度 ，也可能是L-S測度 ，怎樣區分就要看具體上下文的意思了，只要明白它的四重身份，就不會糊塗了。這事還沒有完，還有下面。

(5) 既然 測度是由 產生的，那麼一切具有該函數性質的函數都能夠產生L-S測度，因此換一個函數名稱，比如 ，那麼也可以產生 測度和關於 的L-S測度。即有 , ，這時候不能又糊塗了，它們僅僅是將 換成 而已。

(6) 要說明的是，環 的測度 是 測度的一個特例，本來也應該定義 為單調增加右連續函數，也有 測度，也有 外側度，但是，由於 ，是一個水平直線函數，因此直接記成 測度，沒有 的說法了，因此也沒有 測度的記法那樣亂。