這次我們來談Lebesgue積分撒！

為了讓讀者更好接受，Stein把Lebesgue積分的建立過程分成了四個步驟：簡單函數 有界可測函數 非負函數 一般函數，我們一個個來談。

先說簡單函數 ，其中 為有限可測集，為了表出方式唯一，我們引入了範式，但是後來發現這是不需要的，因為簡單函數在任意表出下的「積分值」相同，它的定義為 ,稱為簡單函數在 上的積分，當然了，這個定義還滿足一些性質，比如線性，單調性，積分的絕對值小於等於絕對值的積分之類，這些都是直接用定義就能驗證的。

下面我們來談有界可測函數的積分，如果你還記得Chap 1中的一個結論的話，那麼這個引入就是十分自然的，對於任意有界可測（這保證了 的存在性）函數 ，我們定義它的積分值 ，當然，這裡有一個well-defined的問題，為此Stein給出了Lemma 1.2，可以看到，這個定義是包容簡單函數的積分的。

關於有界可測函數的積分，這裡有一個重要的定理，即Riemann可積的函數一定有界可測可積（姑且叫這個名字吧），且積分值相同，當然了，如果用之後的更加推廣到的Lebesgue積分的概念來說，就是Riemann可積的函數一定Lebesgue可積。

下面是第三步，也就是非負函數的積分了，這裡不再要求 有界，卻必須非負（後面你就可以看到，非負實際上可以看做Step 4推廣到一般Lebesgue積分之前必做的準備），其實在直觀上這可以看作把「瑕積分」也包含進來了。

這裡推廣的手段是取上確界，即定義 ，其中 是全部小於等於 （指的是 ）的有界非負函數組成的集合（Question：這裡有個問題我沒想明白，就是他為什麼不直接作為一般意義上的Lebesgue積分定義呢？難道是為了避免函數出現負無窮點導致不存在 了嗎？好像是。。。），Step 3的存在唯一性可由 空間的完備性保證（是不是循環論證了？）。

然後就是一般意義上的Lebesgue積分定義了，由書中的Th 4.2受到啟發，我們定義 ，其中 （易知， ），而這裡的 和 就是Step 3中的非負函數。

這裡有一個小卻十分有用的結論，那就是 表示成任意兩個非負函數的差 它們所表示的積分值 都是一樣的，也就是說，任意兩個非負函數 和 如果滿足 ，就有 ，證明是簡單的，相信大家都能看懂書上的具體步驟。