實分析（二）

實分析好難啊。

可是也好有趣啊。

感覺自己陷入這種痛並快樂的惡趣味中跳不出來了（。

額……

我們繼續。

今天早上又花了一個多小時終於把Egorovs Theorem的證明看懂了233，小木樁害死人（nao xi bao）啊。

先上小木樁吧！【注1】

a.Every set is nearly a finite union of intervals（cube？）,【注2】

b.Every function is nearly continuous,

c.Every convergent sequence is nearly uniformly convergent.

【注1】感覺翻譯不出nearly的原味來，所以選擇照抄……

【注2】感覺應該是cube？不知道是不是Stein寫的時候走神了（強行yy

而Egorov定理就是以上c寫成嚴格數學語言的形式。

Th 1（Egorov定理）：給定一個定義在可測集（）上的可測函數 $left{ f_k ight}_{k=1}^{infty}$ ，如果它滿足，則存在一個很接近的可測集（）【注3】，使得在上一致收斂於【注4】。

proof：雖然我給證明看懂了，但還是搞不懂證明者是怎麼想到這個證明的，思考的痕跡不是很明顯，所以……如果同樣搞不清楚的話，你只要明白他下面就是想都構造一個我們所需要的就行啦。（又開始了無限廢話模式……）
以下正文。

WLOG，我們只需要證明的情況就行了（就是說原先almost everywhere可以擴充到everywhere來用，你可以想想這是為啥【注5】）
首先我們構造這樣一個集合： $E_k^n=left{ xin E:|f_j(x)-f(x)|<frac{1}{n},forall j>k<br /> ight}$ 【注6】現在我們固定，則可以看到是關於遞增到的【注7】，即，於是由上一篇的Th 1就有： $lim_{k ightarrowinfty}m(E_k^n)=m(E)$ ，於是 $exists k_ninmathbb N^+,s.t.m(E)-m(E_{k_n}^n)<frac{1}{2^n}$ 。

下面我們取一個足夠大的，讓它滿足 $sum_{j=N}^{infty}frac{1}{2^n}<frac{varepsilon}{2}$ ，並記 $widetilde A_varepsilon=cap_{n=N}^{infty}E_{k_n}^{n}$ ，於是
$egin{align} m(E-widetilde A_varepsilon) &=m(E-cap_{n=N}^{infty}E_{k_n}^{n}) \ &=m[Ecap(cap_{n=N}^{infty}E_{k_n}^{n})^c] \ &=m[Ecap(cup_{n=N}^{infty}{E_{k_n}^{n}}^c)] \ &=m[cup_{n=N}^{infty}(E-E_{k_n}^{n})] \ &leqsum_{n=N}^{infty}m(E-E_{k_n}^n) \&<sum_{j=N}^{infty}frac{1}{2^n}<frac{varepsilon}{2} end{align}$ 現在我們來證明在上一致收斂於，這是因為只要我們讓大到使 $frac{1}{2^n}<delta$ （指的是下面的），就有，時， $forall xin widetilde A_varepsilon,|f_j(x)-f(x)|<frac{1}{2^n}<delta$ 【注7】。這樣我麼確實就構造了一個大體滿足條件的集合了，現在還差最後一條，那就是我們需要是閉集，這也是我們把之前的集合記成的原因。由上一篇Th 2的b，存在閉集，使得 $m(widetilde A_varepsilon-A_varepsilon)<frac{varepsilon}{2}$ ，此時就有 $egin{align} m(E-A_varepsilon)&=m(E-widetilde A_varepsilon)+m(widetilde A_varepsilon-A_varepsilon) \ &<frac{varepsilon}{2}+frac{varepsilon}{2}=varepsilon end{align}$ 這樣就完成了我們的證明！（撒花