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大學代數課的老師給過很好的解釋：

人類對自然數定義了加法，發現其逆運算減法不封閉，比如1-2不是自然數，於是把自然數擴充為整數。擴充的辦法就是把所有自然數之差a-b都加進來

人類對整數定義了乘除法之後，發現其逆運算除法不封閉，比如1/2不是整數，於是把整數擴充為有理數。擴充的辦法就是把所有整數之商a/b (b非0）都加進來。

用現代數學解釋，整數構成一個叫「環」（ring）的結構，有理數是其「商域」 （quotient field）

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初中的老師告訴我們，數可以分為有理數和無理數，有理數包括整數和分數。這可以說是最淺顯卻也最有用的定義

理解有理數我們單從初中的定義出發，就可以得出一些有用的結論:

1.有理數包括分數。因此，如果一個數能夠表示成，p/q的形式，那麼一定是有理數啦。當然了，其中p.q皆是整數，q非零。

2.分數是可以寫成小數的，因此，如果一個數可以寫成有限的小數，那它也一定是有理數啦。這為我們後續解決一個難題，即把無理數轉化成有理數提供了思路。

大學本科本人沒有考上特別優秀的學府，亦非數學專業的學子。但是非常幸運，我接觸到了數學分析。第一節課介紹了實數，從此，數學在我眼中開始變得活靈活現起來。

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n能用分數表示出來的數

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1，能寫成分數形式的

2，能寫成有限小數和無限循環小數的

3，被開平方後，開出來的數是一個分數（整數）

4，和別的整數四則運算後還是一個分數（整數）

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有理數a，一定能表示成b/c。b和c都是整數。

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有理數： （a, b 為整數，b 0），即正整數、負整數、正分數、負分數以及零的統稱。

根據定義，有人建議將有理數改稱「比數」，無理數改稱「非比數」，但因歷史遺留問題有理無理的說法延續至今。

有理數在希臘文中稱為 λογο? ，原意是「成比例的數」。英文取其意，以 ratio 為字根，在字尾加上 -nal 構成形容詞，全名為 Rational Number，直譯成漢語即是「可比數」。對應地，無理數則為「不可比數」。

明末數學家徐光啟和學者利瑪竇翻譯《幾何原本》前 6 卷時的底本是拉丁文，他們將 λογο? 譯為「理」，指的是「比值」。而日本學者將中國文言文中的「理」直接翻譯成了理，不是文言文所解釋的「比值」。後來，日本學者直接用錯誤的理解翻譯出了「有理數」和「無理數」。清末中國派留學生到日本，將此名詞傳回中國，以至現在中日兩國都用「有理數」和「無理數」的說法。

參考資料：

維基百科：有理數?

zh.wikipedia.org

必聽的數學之謎?

books.google.com

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可以表示為q/p 其中p q為整數

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