為什麼會存在不屬於自身的集合？

高中數學中有這樣一個規定：任何一個集合包含自身，那羅素悖論中所說的「不屬於自身的集合」是怎麼回事？

你可能搞錯了屬於和包含於這兩個概念

首先高中數學是沒有"任何一個集合屬於自身"這樣的說法的. 實際上幾乎所有高中生和大多數本科生學習的集合論都是素樸集合論(Naive Set Theory^[1], 這個Naive挺有意思233), 至多也不過討論一下選擇公理(Axiom of Choice).

然而素樸集合論中有一條公理, 或者說是原則, 叫做概括原則(Principle of Comprehension). 概括原則宣稱對任意一種性質都能把所有滿足性質的元素做成一個集合, 因此算是一條公理模式, 把某一類對象確定為集合. 然而很多悖論(比如羅素悖論^[2]、康託悖論^[3])都體現出, 不加限制地使用概括原則很容易出現悖論.

羅素給出性質是 , 按照概括原則, 就應該是一個集合, 這個時候還是都會出現矛盾, 這就是羅素悖論. 也就是說在素樸集合論中會存在一個命題 , 使得與都是假命題, 換句話說素樸集合論的理論體系不是相容的.

這個悖論引發了後來人所知的"第三次數學危機", 羅素悖論是能在ZF公理體系下解決的(當然藉助NBG公理體系中所謂類形式公理也能解決).

我們可以藉助所謂正則公理(Axiom of Regularity^[4])和分離公理模式(Axiom Schema of Separation)來說明, 前文羅素構造的不是一個集合:

In the presence of the axiom schema of separation, Russells paradox becomes a proof that there is no set of all sets. The axiom of regularity(with the axiom of pairing)also prohibits such a universal set, however this prohibition is redundant when added to the rest of ZF. If the ZF axioms without regularity were already inconsistent, then adding regularity would not make them consistent.

參考

^https://encyclopedia.thefreedictionary.com/naive+set+theory
^https://encyclopedia.thefreedictionary.com/Russell%27s+paradox
^https://encyclopedia.thefreedictionary.com/Cantor%27s+paradox
^https://encyclopedia.thefreedictionary.com/Axiom+of+regularity

首先要明確一下集合與集合、集合與元素之間關係的描述：

集合A（真）包含於集合B，也稱集合A是集合B的（真）子集。符號表示為：A?B。（真包含於的符號是在?這個符號下面再寫一個≠）

元素a屬於集合A，符號表示為a∈A。

一個集合屬於另一個集合是可以的，因為集合本身也可以作為元素屬於另一集合。但絕對不是「任何集合都屬於自身」，舉個例子，集合A={1，2，3}就不屬於自身，這個集合裡面的三個元素都不是集合，怎麼能說集合A（作為一個元素）屬於集合A呢？正確的說法是集合A包含於集合A。事實上任何集合（空集除外）（空集並不例外，之前寫的有誤）都包含於自身，而不是屬於自身。（看起來像是文字遊戲，但有必要加以區分）

另外，很難找到一個屬於自身的集合（可能根本沒有），一個集合要屬於自身，那麼它裡面的元素就必須至少要有一個是集合（即自身），如果就是一個，那麼這個元素就是這個集合自身，然後這個元素裡面還要有至少一個集合，無限循環。。隨便從一個簡單的集合開始，比如{1}，如果要屬於自身，你就要把{1}自己加進去，就變成了{{1}，1}，但是這個集合仍然不屬於自身，就又要進行之前的操作，無限套娃了…

羅素悖論就是靠一個描述起來足夠簡單的集合，它由所有不屬於自身的集合組成，但是這個集合的存在可以證明當時的集合論存在缺陷。

首先，任何一個集合都屬於自身，這句話是錯的。例如空集。

其次，羅素悖論的提出提醒人們開始用公理化體系定義集合，悖論的內容可以概括如下。

定義一個集合