要證明題主的命題，首先我們要找一個起點。如果從實數以及實數上四則運算的定義、實數上序的定義入手，那太詳細了。對於上面三者的嚴格定義，最重要的是可以證明：實數系是有序域，任何實數集存在上確界。實數系是有序域通俗地說就是說實數有我們所熟知的運算規則，任何實數集存在上確界是說：對於任何一個實數集A，一定存在一個實數b，它大於等於任何A中實數，但若實數c小於b，則一定有A中元素比c大。所有常用的實數的性質都可以拋開定義而從這兩個性質出發，故而我們選此作為證明的起點。首先我們要得到一個重要的武器：阿基米德性。

阿基米德性是這樣描述的：若x，y是實數，x&>0,則必存在正整數n，使得nx&>y.

證明：設A為所有nx的集合，n為正整數，若不存在正整數n使nx&>y,那麼y為A的上界，則根據任何實數集擁有上確界，必存在a大於任何A中實數，而任何小於a的實數都存在A中實數比它大。那麼由於x為正，a-x比a小，存在A中元素mx&>a-x,m為正整數，如此一來，（m+1）x大於a，（m+1）x屬於A，故而與a大於A中所有實數矛盾。因此必存在n使得nx&>y.

由於阿基米德性與正整數有關，這裡引一個需要用到的定理：最小自然數原理。證明略，可以用數學歸納法證明。描述為：任何非空正整數集A存在k屬於A，且任意n屬於A有k小於等於n。

接下去證明題主命題：x，y為實數，x&

證明：由x&1.

另外存在m0使得m0&>nx（m0=m0*1，1為正實數，根據阿基米德性可得）。那麼記集A為大於nx的所有正整數集，因為m0屬於A故A非空。於是由最小自然數原理，存在正整數m屬於A，使得任意A中元素不小於m。那麼有：m-1≤nx&

由上述討論我們有：

nx&

從而有x&

最後，用同樣的方法可以證明兩個實數之間必然有無理數。

現有 [公式] ，不妨設 [公式] ，令 [公式] ，顯然有 [公式] 。而又因為實數的完備性蘊含了阿基米德原理及其推論，所以一定存在一個正整數 [公式] ，使得 [公式]

由於 [公式] ，所以仍有 [公式] ，進而依阿基米德原理知，存在唯一整數 [公式] 使得 [公式]

綜上，則有

[公式]

從而得到 [公式]

而 [公式] 是整數， [公式] 是正整數，所以 [公式] 是一個有理數

因為有理數集在全直線（也就是整根數軸）上是稠密的。換句話說，你任意找個開區間，不管這個開區間多麼窄，裡面都有有理數存在。

要完整地證明你的問題，首先要清楚有理數和實數的關係，實數是用基本有理數列來定義的。隨便挑本實變函數應該裡面都有介紹，同時書上也有證明。

對於實數a,b

1.當a,b為有理數時取c=(a+b)/2即可

2.當a,b為無理數時，不妨記

a=0.c1c2c3...cnd...

b=0.c1c2c3...cne...

則取c=0.c1c2c3...cn((d+e)/2)即可

3.當a為有理數b為無理數時，對a,b之間的任意c，若c是有理數則由1存在ac之間的有理數d使得結論成立，若c是無理數則由2存在bc之間的有理數d使得結論成立

根據戴德金分割的公理，一個無理數就相當於對有理數集的一個分割，兩次分割之間必須存在有理數，否則這兩個分割就是對有理數集的同一個分割，進而這兩個無理數相等。

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