目錄

第一章 Measure theory

1.1 Ring和Algebra

1.2 測度 & 外測度 & 測度的完備化

1.3 外測度的構造 & Lebesgue測度 & Lebesgue-Stieltjes測度

1.4 Metric Space &Metric Outer Measure

1.5 Lebesgue測度再討論

1.6 帶號測度（Signed Measure）& Hahn分解 & Jordan分解

第二章 可測函數（measurable function）

2.1 可測函數的定義

2.2 可測函數的性質

2.3 Egoroff定理和Lusin定理

2.4 依測度收斂

第三章 積分（integrals）

3.1 簡單函數的積分（integrals of simple function）

Section 1 簡單函數的積分

回憶一下2.2節簡單函數的定義：

函數 f:X o mathbb{R} 稱為簡單函數（simple function），如果存在有限個不相交的可測子集 {E_1,E_2,...E_m} 和有限個實數 alpha_1,alpha_2,...alpha_m in mathbb{R} ,使得 E_1cup E_2cupcdots cup E_m=X 和 forall j,f=alpha_j ext{ on }E_j 。

此時 f 可表示為： f(x)=sum_{j=1}^{m}alpha_jcdotchi_{E_j}(x) ， chi_{E_j} 是可測子集 E_j 的特徵函數。

注1：簡單函數的取值 alpha_1,alpha_2,...alpha_m in mathbb{R} ，沒有要求兩兩不同。

注2：由定義容易知，簡單函數是可測的。

定義1 (可積簡單函數在全空間 X 上的積分）

測度空間 (X,mathfrak{a},mu) 上的簡單函數 f=sum_{i=1}^{n}alpha_ichi_{E_i} 稱為是可積的(integrable)，如果當 alpha_i e0 時，有 mu(E_i)<infty。然後我們規定當 alpha_i=0且mu(E_i)=infty 時，alpha_imu(E_i)=0 。此時，定義 f積分的值為 sum_{i=1}^{n}alpha_imu(E_i) ，將這個值記做 int f(x) dmu(x) ,或者 int f dmu 或者 int f ，即是 int f(x) dmu(x) = int f dmu =int f=sum_{i=1}^{n}alpha_imu(E_i) 。

注1：這個定義是定義在整個空間 X 上的，故 int f 實際表示的是 int _X f 。

注2：由上面定義知：這個定義即是要求積分是有限值，即 int f dmu<infty (有限)

測試題：舉一個不可積分的簡單函數的例子

注意到簡單函數 f 可能有另外一種表示方式，比如 f=sum_{j=1}^{m}eta_jchi_{F_j} ，我們來驗證積分這個定義是well-defined：即是驗證 f 在不同表示方式下的積分值是唯一的，即是驗證：

sum_{i=1}^{n}alpha_ichi_{E_i}=sum_{j=1}^{m}eta_jchi_{F_j} Rightarrow sum_{i=1}^{n}alpha_imu(E_i)=sum_{j=1}^{m}eta_jmu(F_j)

當 E_icap F_j e varnothing 時，在交集 E_icap F_j 上 alpha_i=eta_j ,此時記 gamma_{ij}=alpha_i=eta_j

然後每個 E_i 可表示為不相交的 E_icap F_j 的並（畫個圖）,即 E_i =cup_{j=1}^{m}(E_icap F_j) 則有 sum_{i=1}^{n}alpha_imu(E_i)=sum_{i=1}^{n}alpha_isum_{j=1}^{m}mu(E_icap F_j)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}gamma_{ij}mu(E_icap F_j) 。同理也有 sum_{j=1}^{m}eta_jmu(F_j)=sum_{j=1}^{m}sum_{i=1}^{n}gamma_{ij}mu(E_icap F_j) =sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}gamma_{ij}mu(E_icap F_j) 。（因為 n,m 是有限數，故雙重求和符號可以交換次序。）即是 sum_{i=1}^{n}alpha_imu(E_i)=sum_{j=1}^{m}eta_jmu(F_j)

命題1

在測度空間 (X,mathfrak{a},mu) 中，

(a) f 是簡單函數， E 是可測集。則 chi_Ef 也是簡單函數；

(b)f 是簡單函數，且可積分； E 是可測集。則 chi_Ef 也可積分（隱含著也是簡單函數）；

(a)需要利用1.1節文末習題1的結論： chi_Acdot chi_B=chi_{Acap B}

f 是簡單函數，則 f=sum_{i=1}^{n}{alpha_ichi_{E_i}} ,其中 E_icap E_j=varnothing 且 X=cup_{i=1}^{n}E_i 。那麼 chi_Ef=chi_Ecdot sum_{i=1}^{n}{alpha_ichi_{E_i}}=sum_{i=1}^{n}{alpha_i chi_Ecdotchi_{E_i}}=sum_{i=1}^{n}{alpha_i chi_{Ecap E_i}} 。(b)(思路，要證 chi_Ef 可積，即是證明 int chi_Ef dmu 是有限的。) int chi_Ef dmu=sum_{i=1}^{n}{alpha_i }mu({Ecap E_i})leqsum_{i=1}^{n}{alpha_i }mu({E_i)}=int f dmu<infty 故chi_Ef 是可積的。

定義2 (可積簡單函數在可測子集 E 上的積分）

測度空間 (X,mathfrak{a},mu) ，設 E 是可測子集。定義可積簡單函數 f 在 E 上的積分為： int_E f dmu=int chi_E f dmu =sum_{i=1}^{n}{alpha_i }mu({Ecap E_i}) ，其中 X=cup_{i=1}^{n}E_i 且 E_icap E_j=varnothing,forall i e j 。

命題2 特徵函數 chi_E 可積，當且僅當， E 是可測集且 mu(E)<infty 。

" Rightarrow "： chi_E 是簡單函數，若可積，則由定義隱含著(a) E 是可測的；(b)int chi_E dmu<infty 。而 int chi_E dmu=int_E dmu=mu(E) 。也就是E 是可測的和 mu(E)<infty

" Leftarrow "：若E 是可測集且 mu(E)<infty 。顯然有 int chi_E dmu=int_E dmu=mu(E)<infty ,故特徵函數 chi_E 可積。

定理1 （簡單函數的基本積分性質）

測度空間 (X,mathfrak{a},mu)，設 f,g 是可積的簡單函數， alpha,eta in mathbb{R}

(1) alpha f+eta g 是可積的簡單函數，且 int (alpha f+eta g) =alphaint f +etaint g

(2) fg 也是可積的簡單函數

(3) |f| 是可積的簡單函數，且 left| {int f } ight| leq int left| { f } ight|

(4) 如果 fgeq 0 ext{ a.e} ，則 int f geq0

(5) 如果 fge g ext{ a. e.} ，則 int f geq int g

(6) int |f+g|leq int|f| +int|g|

(7) 設可測子集 E 滿足 mu(E)<infty ,且在 E 上有 mleq fleq M ext{ a.e.} 。則 mmu(E)leq int_E fleq Mmu(E)

(8) 如果fgeq 0 ext{ a.e} , Esubseteq F in mathfrak{a} ，則 int_E fleqint_F f

(9) 設 E=cup_{m=1}^{infty}E_m , E,E_min mathfrak{a} 且 E_i cap E_j=varnothing ,則 int_E f=sum_{m=1}^{infty} int_{E_m} f

註：性質(9)表明 s(E)=int_Ef dmu (看成是關於 E 的函數)是一個signed measure，因為有countably additive性質，且容易證 s(varnothing)=0

因為 f,g 是simple function。故設 f=sum_{i=1}^{n}alpha_ichi_{E_i},g=sum_{i=j}^{m}eta_jchi_{F_j} ,其中 igcup_i^{n}E_i=igcup_j^{m}F_j=X 且 {E_i} 是兩兩不相交、{F_i} 也是兩兩不相交。

(1)因為每一個 {E_i}=cup_{j=1}^{m}(E_icap F_j) ，故 chi_{E_i}=sum_{j=1}^{m}chi_{E_icap F_j} （見1.1節文末習題1）。同理每一個 chi_{F_j}=sum_{i=1}^{n}chi_{E_icap F_j} 。注意到 {E_icap F_j} 都是兩兩不相交的。egin{align*} alpha f+eta g&=sum_{i=1}^nalphaalpha_ichi_{E_i} +sum_{i=j}^metaeta_jchi_{F_j}\ &=sum_{i=1}^nalphaalpha_isum_{j=1}^mchi_{E_icap E_j}+sum_{i=j}^metaeta_jsum_{i=1}^nchi_{E_icap F_j}\ &=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m(alphaalpha_i+etaeta_j)chi_{E_icap F_j} (有限求和可以交換求和次序) end{align*} 因此 alpha f+eta g 是simple fuction，然後我們計算其積分： egin{align*} int alpha f+eta g&=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m(alphaalpha_i+etaeta_j)mu({E_icap F_j})\ &=sum_{i=1}^nalphaalpha_isum_{j=1}^{m}mu(E_icap E_j)+sum_{j=1}^metaeta_jsum_{j=1}^{m}mu(E_icap E_j)\ &= alphasum_{i=1}^nalpha_imu(E_i)+etasum_{j=1}^meta_jmu(F_j)=alphaint f+etaint g<infty end{align*} 證畢。(2) fg=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^malpha_ieta_jchi_{E_icap F_j} ,故 fg 是simple function。

而當 alpha_i e 0 時， mu(E_i cap f_j)<mu(E_i)<infty (因為 f 可積，定義要求當 alpha_i e 0 時 mu(E_i)<infty )。因此 int fg=sum_{\ alpha_i e0,eta_j e0} alpha_ieta_jmu({E_icap F_j})<infty ，即 fg 可積。

(3) f 在每個 E_i 上的取值是 alpha_i ,則 |f| 在E_i 上的取值是 |alpha_i| 。因此 |f| 只取有限個值且空間分拆成有限個不相交的部分。故 |f| 是simple function且 |f|=sum_{i=1}^n |alpha_i|cdotchi_{E_i} 。 |f| 是可積的，因為 |alpha_i| e0 時， mu(E_i)<infty 。 int |f|=sum_{i=1}^{n}|alpha_i|mu(E_i)geq |sum_{i=1}^{n}alpha_i|mu(E_i)|=left| int f ight| (4)由 f=sum_{i=1}^{n}alpha_ichi_{E_i}geq 0 ext{ a.e} 推出: alpha_igeq0 時對應的 E_i 有mu(E_i)>0 ;alpha_i<0 時對應的 E_i 有mu(E_i)=0 。因此 int f=sum_{i=1}^nalpha_i mu(E_i)geq0 (5)根據（1）和（2）(6) f,g 可積，由(1)知 f+g 可積，再由 (3) 知 |f+g| 可積。由 |f+g|leq|f|+|g| 及(5)有 int|f+g|leq int|f| +int|g| (7)因為 mleq fleq M ext{ a.e. on } E 。故 chi_Em leq chi_Efleq chi_EM ext{ a.e. on } X 。又因為 mu(E)<infty ，故 chi_E 可積(由命題2)，chi_Ef 也可積（由定理1的(2)）。因此 int chi_Em leq int chi_Efleq int chi_EM (由定理1的(5)),即是 mmu(E) leq int_E fleq int chi_Emu(E) (由定義2)。證畢。(8) Esubseteq F 等價於 chi_Eleqchi_F 。又 fgeq0 ext{ a.e} 。故 chi_Efleqchi_Ff ext{ a.e.} 再由(5)有 intchi_Efleqintchi_Ff ,即是 int_Efleqint_Ff .(9) f=sum_{i=1}^{n}alpha_ichi_{E_i} ，故 chi_Ef=chi_Esum_{i=1}^{n}alpha_ichi_{E_i}=sum_{i=1}^{n}alpha_ichi_Ecdotchi_{E_i}=sum_{i=1}^{n}alpha_ichi_{Ecap E_i}。因此egin{align*} int_Ef=int chi_Ef&=sum_{i=1}^{n}alpha_imu(chi_{Ecap E_i})\ &=sum_{i=1}^{n}alpha_isum_{m=1}^{infty}mu(chi_{E_mcap E_i})\ &=sum_{m=1}^{infty}sum_{i=1}^nalpha_imu(chi_{E_mcap E_i})=sum_{m=1}^{infty}int chi_{E_m}f=sum_{m=1}^{infty}int_{E_m}f end{align*}

證畢。

Section 2 Cauchy in the mean

我們目的是定義更一般函數的積分，為此做準備，現在引入簡單函數序列 {f_n} Cauchy in the mean的概念。

定義3 （Cauchy in the mean）

可積分的簡單函數序列{f_n} 被稱為Cauchy sequence in the mean，如果滿足： int |f_n-f_m| o 0 , ext{ as} n,m o infty ,

也即是：對任意 varepsilon>0 ,存在 N ,使得 m,n geq N 時，有 int |f_n-f_m|< varepsilon

此時記做 {f_n} ext{ Cauchy in mean} 。

注1：就是定義了在"in mean"這種收斂方式下的柯西序列。

注2：不要忘記，定義中的積分是對全空間 X 積分。

引理1

可積的簡單函數序列{f_n} 若是Cauchy in mean，則：存在幾乎處處實值的可測函數 f ，使得 f_n o f ext{ in measure}

（思路：因為收斂函數 f 不知道，所以我們證明 f 是Cauchy in measure即可）

由2.4節S3的定理3知， f_n o f ext{ in measure} 等價於{f_n} ext{ Cauchy in measure} 。故我們只需驗證 {f_n} ext{ Cauchy in measure} ：對任意 varepsilon >0 ,令 E_{mn}={x:|f_n(x)-f_m(x)|geqvarepsilon} ,則 E_{mn}in mathfrak{a} 若 |f_n(x)-f_m(x)|geqvarepsilon ，則由 chi_{E_{mn}}|f_n(x)-f_m(x)|geqvarepsilon chi_{E_{mn}} 由性質(6)有（性質(6)要求 chi_{E_{mn}}|f_n(x)-f_m(x)| ， varepsilonchi_{E_{mn}} 可積，需驗證）： int chi_{E_{mn}}|f_n(x)-f_m(x)|geq int varepsilon chi_{E_{mn}} ，即是 int_{E_{mn}} |f_n-f_m|geqvarepsilon mu(E_{mn}) 而由性質(8)有 int |f_n-f_m|geqint_{E_{mn}} |f_n-f_m| ,因此 int |f_n-f_m|geq varepsilon mu(E_{mn}) 而又因為{f_n} 若是Cauchy in mean，即是 n o infty 時 int |f_n-f_m| o 0 因此，n o infty 時 mu(E_{mn}) o 0 ,這就證明瞭{f_n} ext{ Cauchy in measure}（驗證chi_{E_{mn}}|f_n(x)-f_m(x)| ， varepsilonchi_{E_{mn}} 可積： f_n,f_m 是簡單函數且可積，則由性質(1) f_n-f_m 可積且簡單，再由性質(3) |f_n-f_m| 可積且簡單。若 chi_{E_{mn}} 可積，則由性質(2) chi_{E_{mn}}|f_n(x)-f_m(x)| 可積。而 chi_{E_{mn}} 可積，由命題2知，等價於 E 可測且 mu(E)<infty 。因為|f_n-f_m| 簡單，所以 |f_n-f_m|=sum_{k=1}^{l}gamma_kchi_{F_k} ,所以 E_{mn}subseteq igcup_{gamma_k e0}F_k 因而 mu(E_{mn})leq mu(igcup_{gamma_k e0}F_k) leqsum_{gamma_k e0}mu(F_k) （有限求和!因為 F_k 不超過 l 個）。而又|f_n-f_m| 可積，故 對任意 gamma_k>0 有 mu(F_k)<infty ，故sum_{gamma_k e0}mu(F_k)<infty 。這就證明瞭 mu(E_{mn})<infty

習題

1 測度空間 (X,mathfrak{a},mu) 。設 f 是簡單函數，證明： f 幾乎處處為0，當且僅當，對任意的可測集 E ,有 int_E f=0

f 是簡單函數，設 f 取值為 alpha_1,alpha_2,...alpha_m in mathbb{R} ， X=cup_{i=1}^{m}E_i，E_icap E_j=varnothing

" Rightarrow ": f=0 ext{ a.e.}，則對 alpha_i e0 ,mu(E_i)=0 。那麼對任意可測集 E , int_E f=int chi_Ef=sum_{i=1}^{m}alpha_imu(Ecap E_i)leqsum_{i=1}^{m}alpha_imu( E_i)=sum_{alpha_i e0}^{}alpha_imu( E_i)=0 " Leftarrow "：反證法。假設 f 不是幾乎處處為 0 。因為 f 是簡單函數只取有限個值，那麼就存在 alpha_k >0 且mu(E_k)>0 或alpha_k <0 且mu(E_k)<0。不妨設是在 alpha_k >0 且mu(E_k)>0。那麼取 E=E_k , f在E_k 上的積分為 int_{E_k} f=int chi_kf=sum_{i=1}^{m}alpha_imu(E_kcap E_i)=alpha_kmu(E_k)>0 。這與假設矛盾，故f 幾乎處處為0

1 如果 f 是非負、可積的簡單函數，且 int f =0 ,證明 f=0 ext{ a.e.}


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