為什麼不存在一個連續函數，其值在有理數處是無理數，在無理數處是有理數？
可以從實數的定義和其完備性講起嗎？
我們假設存在這樣一個連續函數 ，使得其值在有理數處是無理數，在無理數處是有理數。那麼
不是常值函數。
於是存在無理數 使得
，（若否，則在無理數點取值為一常有理數
，對任意一有理數點，由於取值為無理數不等於
，故在這些點不連續。）
不妨設 ，則在區間
中存在無窮多個無理數，記其為
，其勢為
。對任意
，由介值定理，和題設（只有在有理點處函數值為無理數），存在
，使得
，可能有多個
與之對應，我們任取其中一個就行。容易知道，不同的
對應的
也不同。
由上述過程，我們實際上找到了一個勢為 的集合
到有理數
的一個子集的一一映射。由實變函數裏的基本結論（通俗的講就是無理數比有理數多），這是不可能的。
我上面的證明其實是從集合的勢的角度考慮的，利用的基本思想就是「無理數比有理數多」，這個實變函數中有介紹，證明裡稍微用了一下實數的定義。
經評論區提示，所取 不一定是要求無理數，我們的目的只是找到一個定義域區間和非單點集的值域區間，然後再利用集合的勢解決就行。
另一個答主的解法很精彩，但運用了一點拓撲學的知識：連續函數把連通集映射成連通集。題設函數 的值域是可數集，因此只能是單點集了，這就導出矛盾。
評論區又現一優秀的做法，考慮 ，則
為連續函數，但其函數值只能為無理數，矛盾。
我們假設存在這麼一個連續函數f(x)
那麼考慮g(x)＝f(x)-x
所以g(x)必然是無理數，且連續
如果g不是常數函數，那麼，g的值域必然會取到兩個數，而在這兩個數之間必然有一個有理數。
由連續函數的介值性，g可以取到這個有理數，這和前面所說的「g是無理數」矛盾
所以函數g必然是常值函數，且取值是無理數
那麼問題來了，存在這麼一個無理數，使得它與所有無理數的和都是有理數嗎？當然不行，它和它自身的和必然不是有理數。
也就是說，不存在這樣的連續函數f，使得有理點取無理數，無理點取有理數。
如果這個連續函數存在，那麼f^{-1}(RQ)=Q. 所以Q是一個G_δ集，由於Q稠密，所以Q是第二綱集，與Q是可數集矛盾。
一個更困難的問題：證明不存在連續函數，把正規數映射到非正規數，把非正規數映射到正規數。(正規數就是十進位展開後每個數字出現的密度都一樣的那些實數)。
簡單看一個有界的連續函數，就是您隨便畫一條連續的 線，然後截一段。
假設它把[a,b]映射到了［c,d］,即每一個[a,b]中的元 素都能找到對應的值。
現在，把它離散化一下，假設就有 10 個點，3 個有理 點，7 個無理點（無理數比有理數多得多，不嚴格類 比），同樣，被映到的地方也是3 個有理點，7 個無理點。
如圖（紅的為無理點），顯然，值域端無理點，會有空缺沒被線連到，定義域端也會有些無理點沒法找到有理點與之連線。
所以，這是不可能的，再把離散無限稠密化，就是連續， 同理得證！
可能有人說，把區間放大到無窮會不會可以構造？
結果也是一樣的，因為無理數的勢比有理數的勢大。更專業點的，請參考其它數學語言式的證明。
關鍵只要記住，無理數比有理數多得多，一想就通！
誠然，普通人初看到這一點可能不太好理解。
應該不可能。實數集裡面的有理數是非常稀少的，基本就是零，所以自變數有理數的取值是跳躍的，無所謂。連續性提現在自變數是無理數的點，但是其值是有理數，這個值是不連續的，無法滿足連續函數的要求。有理數本質上是可列的，能夠一個個數出來，無法滿足連續性要求
潛憶江南迴答是不對的.用到結論和論證大錯特錯.首先一點是他或她證明過程用到介質性,誤認為原題條件將定義域中有理數映射到全體無理數,這顯然做不到,誤導人的,曲解的,和連續性沒關係.
在某次科普活動中已經回答過一模一樣的事情, 連續函數將開集映射為開集, 而對於任意開集它是由這個開集中有理數和無理數共同構成,而由已知我們知道它的象基數最多是c0或者說w0,不會是開集,矛盾.
更一般地,有理數不會是 集,無理數不會是
集,當然也不會是它們的可數次
運算.
這道題與其說考察數學分析,不如說是考察點集拓撲. 我的問題是現在98後本科生都是誰教的?
首先，定義域為R的連續函數的值域為R的一個非空子區間（包括從-∞到+∞即R本身）或一常數（本題顯然不可能是這種情況） 故該函數的值域應不可數（或稱不可列）。現考慮從有理數映射到無理數，由於有理數為可數集，這部分的值域至多可數。 而從無理數映射到有理數是，這部分的值域為有理數子集，同樣至多可數。 現取二者並，即為函數值域，其至多可數，產生矛盾。
綜上，不可能存在這種函數。
為什麼不存在一個連續函數，其值在有理數處是無理數，在無理數處是有理數？
可以從實數的定義和其完備性講起嗎？
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實數的定義：兩個互異點能連線，滿足任意種連線。
有理數的定義：兩點之間能連線，能表示為一個分數。
無理數定義：兩點之間能連線，不能表示為一個分數。
令 任意一個實數其 值為a
當：a=有理數=無理數。 與定義 矛盾。
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