1目錄

第一章 Measure theory

1.1 Ring和Algebra

1.2 測度 & 外測度 & 測度的完備化

1.3 外測度的構造 & Lebesgue測度 & Lebesgue-Stieltjes測度

1.4 Metric Space &Metric Outer Measure

1.5 Lebesgue測度再討論

1.6 帶號測度（Signed Measure）& Hahn分解 & Jordan分解

第二章 可測函數（measurable function）

2.1 可測函數的定義

2.2 可測函數的性質

Section 1 可測函數的運算

設有測度空間 (X,mathfrak{a}) ，可測函數 f,g:X o[-infty,+infty]

引理1

f,g 可測 Rightarrow {xin X: f(x)<g(x)} in frak{a}

註：將" < "換成" > "，" e "，" = "，" geq "，" leq "正確。

(利用有理數在 mathbb{R} 上稠密)設 {r_n} 是有理數集，則

egin{align*} {xin X: f(x)<g(x)}&=igcup_{n=1}^{infty}({x: f(x)<r_n}cap{x: r_n<g(x)})\ &=igcup_{n=1}^{infty}(f^{-1}(-infty,r_n))cap(g^{-1}(r_n,infty)) end{align*} 因為f,g 可測 ，則由可測函數的等價定義得到 f^{-1}(-infty,r_n)in mathfrak{a},g^{-1}(r_n,infty)in mathfrak{a} ， frak{a} 是 sigma 代數，則得 igcup_{n=1}^{infty}(f^{-1}(-infty,r_n))cap(g^{-1}(r_n,infty)) in frak{a} square 註：將" < "換成" > "，" e "，" = "，" geq "，" leq "也對。這是因為">"=X"<"；"≠"=">"∪"<"；"="=X"≠"；"≥"=">"∪"="; "≤"="<"∪"="

定理1 （可測函數的加減乘除也是可測函數）

設函數f,g 可測， c 是任意實數，則

egin{align*} & (1) f+g ext{ is measurable}\ & (2) f-g ext{ is measurable}\ & (3) fcdot g ext{ is measurable}\ & (4) frac{f}{g} ext{ is measurable, if }g(x) e0,forall xin X end{align*}

(1)(a) (f+g)^{-1}((-infty,c))={x:f(x)+g(x)<c}={x:f(x)<c-g(x)}

我們證明 c-g(x) 是可測函數，則根據引理1，知集合 {x:f(x)<c-g(x)} 是可測的。 因為(c-g)^{-1}((-infty,c_1))={x:c-g(x)<c_1}={x:g(x)>c-c_1}in mathfrak{a}

，故c-g(x) 是可測函數。由引理1，集合 {x:f(x)<c-g(x)} =(f+g)^{-1}((-infty,c))in frak{a} 。(b) 接著驗證 (f+g)^{-1}({infty})in mathfrak{a} 。 (f+g)^{-1}({infty})Leftrightarrow f(x)+g(x)=inftyLeftrightarrow f(x)=infty ext{ or } g(x)=infty 因此 (f+g)^{-1}({infty})=f^{-1}({infty})cup g^{-1}({infty})in mathfrak{a} 。(c) 同理 (f+g)^{-1}({-infty})in mathfrak{a} (d) 由(a)(b)(c)知 f+g 滿足函數可測的定義，故 f+g 可測。 square (2) 證明模仿(1）。square(3)先證明"若 h 可測，則 h^2 可測"（見2.1節習題），然後將 fcdot g 表示為 fcdot g=frac14((f+g)^2-(f-g)^2) 。 f 可測， g 可測，則由（1）知 f+g , f-g 可測；由"若 h 可測，則 h^2 可測"知 (f+g)^2,(f-g)^2 可測；再由（1）知 (f+g)^2-(f-g)^2 可測；最後容易知 fcdot g=frac14((f+g)^2-(f-g)^2) 可測 square (4)關鍵在於證明 frac1g 可測，然後用（3）。 [{(frac{1}{g})^{ - 1}}(( - infty ,c)) = left{ {egin{array}{*{20}{L}} g^{-1}((frac{1}{c},0)), ext{ if } c<0\ g^{-1}((-infty,0)), ext{ if } c=0\ g^{-1}((-infty,c]cup(frac1c,infty)), ext{ if } c>0 end{array}}<br /> ight.] Rightarrow frac1g 可測

則 frac{f}{g} =fcdot frac{1}{g} 也可測。square

定理2

設有可測函數序列 {f_n} ，則 mathop {sup }limits_{ngeq 1} f_n, mathop {inf }limits_{ngeq 1} f_n, overline{lim}f_n, underline{lim}f_n 都是可測函數。

註：這裡默認讀者有函數序列極限的知識(見Rudin《數學分析原理》)

(1) egin{align*} (mathop {sup }limits_{ngeq 1} f_n)^{-1}((-infty,c]) &={x:mathop {sup }limits_{ngeq 1} f_n leq c}\ &=cap_{n=1}^{infty}{x:f_n leq c}\ &=cap_{n=1}^{infty} f_n^{-1}((-infty,c])) in mathfrak{a} end{align*}

(2) mathop {inf }limits_{ngeq 1} f_n=-mathop {sup }limits_{ngeq 1} (-f_n) Rightarrow mathop {inf }limits_{ngeq 1} f_n 可測(3） overline{lim}f_n=mathop {inf }limits_{ngeq 1}mathop {sup }limits_{kgeq n} f_k Rightarrow overline{lim}f_n 可測(4) overline{lim}f_n=mathop {sup }limits_{ngeq 1}mathop {inf}limits_{kgeq n} f_k Rightarrow underline{lim}f_n 可測

習題

設函數f,g 可測，則

egin{align*} & (1) |f| ext{ is measurable}\ & (2) max{f,g} ext{ is measurable}\ & (3) min{f,g} ext{ is measurable}\ end{align*}

Section 2 幾乎處處（almost everywhere）

定義1 （幾乎處處與處處成立）

設測度空間 (X,mathfrak{a},mu) 裏有點 x ，關於點 x 的性質（property） P(x) 稱作幾乎處處（almost everywhere，簡寫為a.e.）為真的（true)，如果集合 E={xin X:P(x) ext{ is not true}} 的測度 mu(E)=0 。如果集合 E=varnothing ，則稱 P(x) 處處為真（true everywhere）。

例子 設有 (X,mathfrak{a},mu) ，函數f,g ，那麼" f 和 g 幾乎處處相等"是什麼意思呢？由上面定義可知，關於 x 的性質 P(x) 就是「f 和 g 相等」。那麼要 P(x) 幾乎處處為真，就是要 讓 P(x) 不真的集合的測度為0。而本例子 P(x) 不真就是「f 和 g 不相等」，故令集合 E={x:f(x) e g(x)} 則 mu(E)=0 。總結一下，寫成數學語言即是：

f=g ext{ a.e}Leftrightarrow E={x:f(x) e g(x)} & mu(E)=0

定理3

(X,mathfrak{a},mu) 為測度空間，設函數 f,g:X o[-infty,+infty] 。若 mu 是完備的， f 可測且 f=g ext { a.e.} ,則 g 也是可測的。

註：回憶一下，Lebesgue測度空間 (mathbb{R}^n,L,m) 是完備的（見1.2節S3定理2和1.3節S2），故適用上述定理。

設 E={x:f(x) e g(x)} ,由 f=g ext { a.e.} 可知 mu(E)=0 .

egin{align*} g^{-1}((-infty,c)) &={x:g(x)<c}\ &=({x:g(x)<c}cap E)cup({x:g(x)<c}cap E^c) end{align*} (a)因為mu 是完備的（見1.2節S3 定義7），因此 {x:g(x)<c}cap E in mathfrak{a} 。(b)因為 f=g ext { a.e.} 所以在 E^c 上 f=g ,因此結合 f是可測的，得{x:g(x)<c}cap E^c={x:f(x)<c}cap E^c inmathfrak{a} (c)對 g^{-1}({infty}),g^{-1}({-infty})in mathfrak{a} 的證明同上綜合(a)(b)(x)則得 g^{-1}((-infty,c)),g^{-1}({infty}),g^{-1}({-infty})in mathfrak{a} ,因此 g 也可測。 square 註：這裡證明的思路就是將 g 分兩塊討論：一塊是 {x:g(x)<c}cap E ，表示 f 和 g 不相等時的情況；另一塊是 {x:g(x)<c}cap E^c ，表示 f 和 g 相等時的情況。

例子

Dirichlet function f:mathbb{R} omathbb{R} , [f(x) = left{ {egin{array}{*{20}{L}} 0, ext{if }x ext{ is rational }\ 1, ext{if }x ext{ is irrational } end{array}} ight.] ，

則 f=1 ext{a.e} 且 f 可測。

定義3 （逐點收斂）

函數序列 {f_n} 稱作（逐點）收斂（pointwise convergent everywhere ），如果 f=1 ext{a.e} 存在函數 g 使得 mathop{ lim limits_{n o infty}} f_n(x)=g(x)

此時就說，函數序列 {f_n}收斂，並且記做 mathop{ lim limits_{n o infty}} f_n=g 或者 f_n o g (這個常用）。

注1: 這個定義是逐點的（pointwise），要明確這一點。

注2：思考如何用集合的交並補表示 f_n 收斂的點，即 E={x:mathop{ lim limits_{n o infty}} f_n(x)= g(x)} 可以表示成什麼？

定義 3 （幾乎處處收斂）

函數序列 {f_n} 稱作幾乎處處收斂（convergent almost everywhere），如果存在函數 g 使得 mathop{ lim limits_{n o infty}} f_n(x)=g(x) ext{a.e}

此時我們就說，函數序列 {f_n}幾乎處處收斂，並且記做 mathop{ lim limits_{n o infty}} f_n=g ext{a.e} 或者 f_n o g ext{a.e} (這個常用）。

注1: 這個定義是逐點的（pointwise），要明確這一點。

注2：根據定義1 f_n o g ext{a.e} 等價於 f_n 的不收斂點（發散點）構成的集合的測度為零，即是： egin{align*} f_n o g ext{a.e}&Leftrightarrow mathop{ lim limits_{n o infty}} f_n(x)=g(x) ext{a.e}\ &Leftrightarrow E={x:mathop{ lim limits_{n o infty}} f_n(x) e g(x)} & mu(E)=0 end{align*}

然後考慮 E 用邏輯語言敘述: 存在 varepsilon>0 ，對所有的正整數 N，存在 ngeq N，使得 |f_n(x)-g(x)|geq varepsilon，即是：{x:mathop{ lim limits_{n o infty}} f_n(x) e g(x)} ={x:existsvarepsilon>0,forall N in mathbb{Z}^+,exists ngeq N<br /> i|f_n(x)-g(x)|geq varepsilon}

取 varepsilon=frac1k ，將上面的集合用集合列表示（ 方法見1.1節S1）： egin{align*} {x:mathop{ lim limits_{n o infty}} f_n(x) e g(x)} &=igcup_{k=1}^{infty}igcap_{N=1}^{infty}igcup_{n=N}^{infty}{x:|f_n(x)-g(x)|geq frac1k}\ &=igcup_{k=1}^{infty} overlinelim {x:|f_n(x)-g(x)|geq frac1k} end{align*}

定理4

設有測度空間 (X,mathfrak{a},mu) ，可測函數序列 {f_n} ,

(1) f_n o g ( ext{pointwise})Rightarrow g ext{ measurable}

(2) f_n o g ext{a.e} & mu ext{ complete}Rightarrow g ext{ measurable}

（1）可以證明，函數序列 {f_n} 收斂，當且僅當 {f_n} 的上極限等於下極限。

所有因為 f_n 收斂，故 f_n 的上極限和下極限相等，且等於 f_n 的極限，即 g=lim_{n o infty} f_n=overline {lim}f_n=underline {lim}f_n ,而由本節定理2知 overline {lim}f_n,underline {lim}f_n 都是可測函數，因此 g 是可測函數。（2）證法一：（模仿定理3的證明）令 E={x:lim_{n o infty}f_n(x) e g(x)} ，由 f_n o g ext{a.e} 知mu(E)=0

egin{align*} g^{-1}((-infty,c))&={x:g(x)<c}\ &=({x:g(x)<c}cap E)cup({x:g(x)<c}cap E^c) end{align*}

(a)因為 mu 是完備的，故 {x:g(x)<c}cap E in mathfrak{a} (b)因為在 E^c 上 f_n o g ，即是lim_{n o infty}f_n(x) = g(x) ，故 {x:g(x)<c}cap E^c={x:lim_{n o infty}f_n(x) <c}cap E^c ，由（1）知 lim_{n o infty}f_n=overline {lim}f_n 是可測的，故 {x:lim_{n o infty}f_n(x) <c}cap E^c in mathfrak{a} 綜合(a)(b) {x:g(x)<c} in mathfrak{a} ,故 g 可測。證法二：（其實內核還是相同，長得不太一樣而已）定義函數 [h(x) = left{ {egin{array}{*{20}{L}} {mathop {lim }limits_{n o infty } {f_n}(x)}& x是f_n的收斂點\ 0& x是f_n的發散點 end{array}} ight.] 定義 E={x:lim_nf_n(x) ext{exists}}={x:overlinelim f_n(x)=underlinelim f_n(x)} ,故 E 可測。易證 h(x)=(lim_n f_n(x))cdotchi_E(x) 是可測的。而 h=g ext{ a.e} ,由定理3，知 g 也可測。

Section 3 簡單函數（simple function）

簡單函數的地位很重要，以函數和積分的逼近會大量用到。

定義4（簡單函數）

函數 f:X o mathbb{R} 稱為簡單函數（simple function），如果存在有限個不相交的可測子集 {E_1,E_2,...E_m} 和有限個實數 alpha_1,alpha_2,...alpha_m in mathbb{R} ,使得 E_1cup E_2cupcdots cup E_m=X 和 forall j,f=alpha_j ext{ on }E_j 。

此時 f 可表示為： f(x)=sum_{j=1}^{m}alpha_jcdotchi_{E_j}(x) ， chi_{E_j}(x) 是子集 E_j 的特徵函數。

Simple function

定理5（非負函數可用簡單函數序列逼近）

設函數fgeq0 且可測，則存在非負簡單函數序列 { f_n} ,使得 f_n 單調遞增且 f_n (逐點)收斂於 f 。

（證明是構造性的）

令 [f_n(x) = left{ {egin{array}{*{20}{L}} frac{i-1}{2^n}& ext{if } frac{i-1}{2^n}leq f(x)< frac{i}{2^n},i=1,2,...,ncdot2^n\ n& ext{if } f(x)geq n end{array}} ight.] 則容易驗證 f_ngeq0 (非負）， f_nleq f_{n+1} (單調遞增)且 f_nleq f 。接下來驗證f_n (逐點)收斂於 f，即是 forall x,f_n(x) o f(x) (1)對於 f(x)=infty 的點 x , f_n(x)=n ，這意味著當 n o infty ,f_n(x) o f(x)=infty (2)對於 0leq f(x)<infty 的點 x , 則存在某個正整數 n_0 ,使得 f(x) leq n_0 。那麼對所有 ngeq n_0 ,就有 f(x)<n ，我們用 f_n 去逼近 f(x) ，此時就有某個 i 使得 frac{i-1}{2^n}leq f(x)< frac{i}{2^n} 。然後我們估計一下 f_n 和 f 的誤差 0 leq f(x)-f_n(x) leq frac{1}{2^n}- frac{i-1}{2^n}=frac1{2^n} ，因此 n o infty 時， f(x)-f_n(x) o 0 ,即是 f_n(x) o f(x) 。 square

推論 （可測函數可用簡單函數序列逐點逼近）

f ext{ is measurable}Rightarrow exists f_n ext{ simple} i f_n o f ( ext{pointwise})

證明這個推論之前，我們先引入函數 f 的正部 f^+ 和負部 f^- 。它們的定義為 f^+(x)=max{f(x),0}, f^-(x)=-min{f(x),0}

則可驗證， f^+,f^- 是非負函數可測函數（作為習題），且有 f=f^+-f^- 和 |f|=f^++f^- 。

證明推論：

因為 f=f^+-f^- 且f^+,f^- 是非負函數可測函數。那麼由定理5，存在簡單函數序列 {f_n},{g_n} 使得 f_n o f^+ 和 g_n o f^- (piontwise)因此 {f_n-g_n} 也是簡單函數序列，且 f_n-g_n o f (pointwise)。 square

習題

1. 證明函數f 可測 Leftrightarrow f^+ 和 f^- 可測。

Delta 2. 設 g(u_1,u_2,...,u_k) 是 mathbb{R}^k 上的連續函數，設varphi_1,varphi_2,...,varphi_k 是可測函數。證明：複合函數 h(x)=g(varphi_1(x),varphi_2(x),...,varphi_k(x)) 是可測函數。

注意到 max{varphi_1,varphi_2,...,varphi_k} ， min{varphi_1,varphi_2,...,varphi_k} ， f+g , fcdot g 是上面的一種特殊情況，故它們也是可測函數。

證明來自Rudin第三版《Principles of Mathematical Analysis》

2. 設可測函數序列 {f_n} , f_n o g ext{ a.e.} 和f_n o f ext{ a.e.} ,證明 f=g ext{ a. e.}

令 E={x:f_n ot o g},F={x:f_n ot o f} (不收斂的點)

因為 f_n o g ext{ a.e.} 和f_n o f ext{ a.e.} ,故 mu(E)=0,mu(F)=0 在集合 Xackslash(Ecup F) 上，f_n(x) 處處收斂且極限唯一，因此 f(x)=g(x),forall xin Xackslash(Ecup F) 那麼 {x:f(x) e g(x)}=Xackslash {x:f(x)= g(x)}=Xackslash(Xackslash(Ecup F) )=Ecup F 而 mu({x:f(x) e g(x)})leqmu(E)+mu(F)=0 因此 f=g ext{ a. e.}

3.設可測函數序列 {f_n} , f_n o f ext{ a.e.} 和f=g ext{ a. e.} ,證明 f_n o g ext{ a.e.}

令 E={x:f_n ot o f},F={x:f(x) ot=g(x)} 。則 mu(E)=0,mu(F)=0 。那麼在集合 Xackslash(Ecup F) 上， f_n 處處收斂於 f 且 f=g ,故f_n 處處收斂於 g。

而 mu(Ecup F)leqmu(E)+mu(F)=0 故 f_n o g ext{ a.e.} 。

4.設可測函數序列 {f_n},{g_n} , f_n o f ext{ a.e.} 及 g_n o g ext{ a.e.} 。設 alpha,eta 是實數。

證明： alpha f_n+eta g_n oalpha f+eta g ext{ a.e.}

令 E={x:f_n ot o f},F={x:g_n ot o g} (不收斂的點)

因為 f_n o f ext{ a.e.} 和g_n o g ext{ a.e.} ,故 mu(E)=0,mu(F)=0令 xin Xackslash(Ecup F) ,那麼 lim_{n o infty}f_n(x)=f(x),lim_{n o infty}g_n(x)=g(x) 由數學分析數列極限的線性性質得， lim_{n o infty}(alpha f_n(x)+eta g_n(x))=alpha f(x)+eta g_n(x) 即在 Xackslash(Ecup F) 上，處處有 alpha f_n+eta g_n oalpha f+eta g 。又 mu(Ecup F)leqmu(E)+mu(F)=0 得到 alpha f_n+eta g_n oalpha f+eta g ext{ a.e}

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