[1]

六種收斂

1）一致收斂：

lim_{n oinfty}f_{n}=f

2）近一致收斂：對 delta>0 ，存在 E 的可測子集 E_{delta} ，s.t.在 E_{delta} 上 f_{n} 一致收斂於 f ，而 m(Esetminus E_{delta})<delta

3）幾乎處處收斂：不收斂的點集的測度為零

4）按測度收斂： forall epsilon>0

lim_{n oinfty}m{x:|f_{n}(x)-f(x)|geepsilon}=0

5）平均收斂：

lim_{n oinfty}int_{E}|f_{n}-f|^{p}dx=0

6）弱收斂：

  • 1<P> ，有</li> </ul> <p><P align=lim_{n oinfty}int_{E}f_{n}gdx=int_{E}fgdx
    • p=1,gin L^{infty}(E) ，有

    lim_{n oinfty}int_{E}f_{n}gdx=int_{E}fgdx

    收斂之間的關係

    當 mE<infty

    當 mE=infty

    幾乎處處收斂與按測度收斂

    • 蘊含關係只在有限域上成立
    • 對於幾乎處處收斂
    1. forall x_{0}in E,exists n(x_{0}),s.t. nge n(x_{0}),|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|<epsilon ，即 x_{0}inigcap_{n=n(x_{0}}^{infty}E[x:|f_{n}-f|<epsilon]
    2. forall n,s.t. |f_{n}-f|geepsilon 的點組成的集合的測度較大
    • 對於按測度收斂
    1. E[x:|f_{n}-f|geepsilon] o0,n oinfty
    2. x_{0}inigcap_{n=n(x_{0}}^{infty}E[x:|f_{n}-f|<epsilon] 未必成立，甚至是空集

    例：按測度收斂而不幾乎處處收斂

    {varphi_{n}:varphi_{1}=f_{1}^{(1)},varphi_{2}=f_{1}^{(2)},varphi_{3}=f_{1}^{(3)},cdots} 其中

    f_{i}^{(k)}(x)=egin{cases}1,&xin[frac{i-1}{k},frac{i}{k})\0,&x otin[frac{i-1}{k},frac{i}{k})end{cases},i=1,cdots,k

    例：幾乎處處收斂而不按測度收斂

    f_{n}=egin{cases}1,&xin[n,n+1]\0,&x otin[n,n+1]end{cases}

    在 E=(-infty,+infty) 上

    參考

    1. ^參考文獻：汪林《實分析中的反例》高等教育出版社

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