卡尔纳普数学哲学笔记2——哥德尔的「卡尔纳普论文」

卡尔纳普数学哲学笔记2——哥德尔的「卡尔纳普论文」

They (mathematical propositions ) will form a special class of analytic propositions, containing special terms, but they will be none the less analytic for that. For the criterion of an analytic proposition is that its validity should follow simply from the definition of the terms contained in it, and this condition is fulfilled by the propositions of pure mathematics.
——A. J. Ayer

数学分析性问题涉及到了卡尔纳普的《语言的逻辑句法（LSS/LSL）》中最核心的部分，直接关系到卡尔纳普逻辑句法计划是否是可行的。而不了解卡尔纳普的这一计划的具体构想就直接判它的死刑显然是没有理由的，我预感到我们围绕一个莫名其妙的问题设定陷入了无意义的讨论，按原先争论下去的结果估计只能是我们离原先卡尔纳普和哥德尔的讨论的目标越来越远，无助于找到问题的最终答案。这绝不是一个「哥德尔不完全性定理」就可以解决的单纯问题，而是涉及到与数学基础相关的卡尔纳普的逻辑句法计划等方方面面的复杂问题。

认识到这一点的我也曾经计划在短期内读完《LSS》中相关部分，然后著手对这个问题做出回应。不过在准备修士论文的我无法做到这一点，对《LSS》的解读已经超出了我现在能力和精力所能达到的范围了（我相信这不是卡尔纳普的行文不成熟的问题，而是我的阅读效率问题。比如说造成阅读困难的地方就有，他独特的符号语言与我们这个时代的表记法相去甚远，而且对逻辑和数学基础方面的问题意识和我们的时代相比有很大出入等方面，尽管Pierre Wagner（2009）做了清晰的梳理）。至今我仍然没有对《LSS》的方法有清晰的把握。

但尽管如此我仍不打算把整理的计划拖到修论完成后再做。在这篇文章里我仅对哥德尔的思路做初步的（仅凭二手文献进行的）整理。后续会补充卡尔纳普《LSS》中有关数学分析性问题的具体论证细节，哥德尔遗稿出版后（1995年之后）哲学界拥护卡尔纳普方法的几个观点以及我对这个问题的一点思考。

以下是正文：

1.卡尔纳普《LSS》中的数学分析性论题

由于本文的主要目的是介绍哥德尔遗稿的论证思路，这里只是针对哥德尔所批评的卡尔纳普的观点做一个必要的概括，而并不打算详细展开卡尔纳普哲学处理这个问题的一些技术细节。另外我也不想展开《LSS》的写作期间卡尔纳普与哥德尔交流的具体过程，这个在哥德尔collected works，LSS序言，以及卡尔纳普的自传Intellectual Autobiography （Schilpp编）里有提及，另外Coffa（1991）那本The Semantic Tradition from Kant to Carnap以及Pierre Wagner（2009）主编Carnaps Logical Syntax of Language有对他们书信稿的具体讨论。不过只有一点是值得注意的是：卡尔纳普对哥德尔的不完全性定理并不是无知的，早在哥德尔的定理公开之前以及卡尔纳普构想他的逻辑句法计划之前他们已经就这一定理有了深入讨论，且《LSS》的写作目的之一可以说就是如何在逻辑句法计划的构建中应对哥德尔难题。《LSS》的做成中，哥德尔读过卡尔纳普的手稿，他们彼此交换了很多意见。

刚刚也说道，我们需要在《LSS》中卡尔纳普构建的更为庞大的哲学计划中考察逻辑学和数学的分析性问题。这个哲学的计划的考察对象不光是数学哲学，而是包括了实在论vs.观念论,唯名论vs.实念论，唯物论vs.唯心论在内的更为广泛的哲学讨论。他认为这些哲学问题是伪问题，也就是说并不是在讨论实质上的（material）问题，归根到底是争论的双方没有就应该选择哪种哲学语言达成一致。《世界的逻辑构造》中卡尔纳普尝试了用现象主义的语言对世界的构筑，其真实意图被最近的卡尔纳普学者认为是展示，不管是现象主义的语言还是物理主义的语言都可以构成对世界的描述，从而最终为唯心论和唯物论的争论画上一个句号。而围绕数学的基础的讨论也是如此，古典数学和直观主义之间尖锐的对立，并不是孰对孰错的问题，也是语言选择的问题。我们要承认哪种数学或逻辑真理，是由我们选择哪种语言来决定的。这是卡尔纳普哲学计划的一个构成部分。

而对于选择哪种语言这一点上，卡尔纳普提出了有名的宽容原则（principle of tolerance），一言以蔽之，我们的任务并不是判断几种对立的语言孰对孰错，而是『to arrive at conventions』。

语言是由两种规则所决定的。分别是形成规则（formation rules）和转换规则（transformation rules）。前者与我们所说的句法规则相对应，是规定这个语言中符号可以构成哪些语句。后者是决定包含了数学在内的（更广义的）逻辑的规则。

《LSS》中卡尔纳普具体构成了语言I和语言II两种语言。前者的语言所包含的要素比较少（具体可参见Pierre Wagner（2009）），基本是按照有限主义的观点构成的。后者的表现力更强，包含了分析学和集合论在内的古典数学全体。当然选择哪种语言是出于实用上的考虑，卡尔纳普的计划中，语言II是适用于物理学记述以及对于还原论物理主义者来说全部科学记述的语言。

这两个语言中任意一种都可以采用形式证明中的有限规则，也就是卡尔纳普所说的导出规则（rule of derivation）作为其转换规则。不管除此之外还应该允许另外一种非有限的「归结规则（rule of consequence）」作为其转换规则。将后者作为语言的句法规则的一部分，这就是卡尔纳普对哥德尔不完全性定理的回应。

我们要知道根据哥德尔的定理，只根据导出规则制定的语言，不管是语言I还是语言II都不具备完全性，也就是说其语言系统中存在有无法被证明及证伪的语句。那如何将这两种语言构造成为完全的呢？

对于语言I，卡尔纳普导入了被称为「规则」的非有限规则作为归结规则。

对于语言II，「规则」是无法直接得到应用的，卡尔纳普为此导入了一系列更为复杂的规则。

我们因此可以得到语言I和语言II，这两种语言中的分析的真理就被归结关系（归结原则）所规定。当然由于规定这种分析性真理的不是靠传统的导出关系，是哥德尔所诟病之处。

2.哥德尔遗稿的卡尔纳普批判

哥德尔遗稿（Is mathematics syntax of language？下称遗稿）共有6版，收录进collected works第三卷中的是第三和第六版的草稿1953～1959。编者是Warren Goldfarb，同时他也是难产的卡尔纳普collected works的编者。这个论文本来是答应了Schilpp，要在其编写的《卡尔纳普的哲学》一书中发表的，结果最后再三修改还是没有在生前问世。（在哥德尔的collected works第五卷（pp.238-245）可以完整读到Schilpp的催稿信，还有鸽德尔找的各种拖稿理由的回信）。不管怎么说没有看到卡尔纳普对哥德尔的回应实在是很遗憾的事。

在遗稿中，首先，按哥德尔的考虑，卡尔纳普的「数学是逻辑句法」的观点可以被以下三个主张所概括：

（i）数学直观可以被替换为对符号用法的约定。

（ii）由于数学命题不过是符号用法的约定的归结，所以在与经验无关这一层面上是不包含任何内容的。

（iii）由于数学被看作是约定的体系，数学先验的合法性对于经验主义来说就不是个问题了。

我们来看哥德尔对（i）的回应：如果数学仅仅是由符号的用法所约定的体系的话，那么就必须要保证采用特定的约定不会对事实命题的真伪有影响。特别是要保证这个约定的体系是无矛盾的。因为一个有矛盾的体系可以导出包括事实命题在内的所有命题。可是根据第二不完全性定理，一个约定的体系只要包含最低程度的数学，那么这个体系的无矛盾性就无法在体系内部得到证明。而我们所要求的是这种无矛盾性是可以被证明的。如此一来，要判断这个体系是无矛盾的，不能依靠有限的句法规则，必须要存在一种超出finitary combinatorial reasoning范围的抽象概念。

我们如何来理解这一反论呢？按照编者Goldfarb的解读，哥德尔的理解中，首先存在一个经验式的事实命题的领域，数学是作为句法规则的体系加给这个事实命题的领域的。通过给事实命题的领域加上句法规则，事实命题的全体实现了保存式的扩张（conservative extension）。而要说明这一点，有限的句法规则是不足的。所以这就构成了对卡尔纳普的逻辑句法计划的反论。

不过这个理由被认为很难构成对卡尔纳普的反驳。首先卡尔纳普的数学观并没有和哥德尔的达成一致。卡尔纳普没有接受先于导入语言约定的一种事实领域。在卡尔纳普看来独立于语言框架（lingustic framework）的「事实」及「经验世界」这种考虑是完全不需要的，「约定-事实」和「分析的-综合的」诸如这些分别是相对于语言的。一个不成熟的句法规则固然会导致矛盾的结果。但我们选择哪一种规则的语言作为数学的语言，应该选择有矛盾的规则还是无矛盾的规则，根本不是由于世界上有某种实在去驱使我们做这样一种选择，这不是理论上的问题，而只是出于实用性上的考虑而已。

所以很多人认为真正对卡尔纳普构成反驳的，不是基于第二不完全性定理，而应该是第一不完全性定理的哥德尔的反论。