卡尔纳普数学哲学笔记1——数学是先验综合命题吗？

卡尔纳普数学哲学笔记1––—数学是先验综合命题吗？

So far as the theorems of mathematics are about reality they are not certain; and so far as they are certain they are not about reality.
––Albert Einstein

对逻辑与数学基础的讨论始终是卡尔纳普宏伟的哲学构想中一个重要课题。他将弗雷格和罗素的逻辑主义观点毕生坚持下去，作为逻辑主义初期的代表论者而活跃，同时也在LSS出版之后作为约定主义的代表论者为人所知。我在这篇笔记中尝试用卡尔纳普的观点来回应康德的数学哲学。

1 康德的数学哲学

康德认为数学判断是综合的，一切数学命题都是先验综合命题。

我们组织一下康德的论证：

我们来考虑7+5=12。根据康德，等式左边的概念是把数字5加到数字7上的运算。而等式右边的概念是12这个数字。但是等式左边的加法运算并没有涉及12这个概念，也就是说这个运算不是靠某种7+5必然等于12的规则而成立的，必须要借用经验的手段才能到达等式右边12的概念。这是靠对数字具体化个体的直观而实现的，比如把7个火柴摆到5个火柴后自然的得到12个火柴。所以数学判断必然是综合的。

在此基础上， @刘秩简单构成了另一种支持数学判断综合性的三段论证：

前提1：若存在著某种自然数运算可以导出12这个数字概念，而不借用7+5的和这个加法运算的概念，那么就足以确定7+5=12这个命题是综合的。

前提2：由自然数公理体系到概念12的演绎过程中的确可以不经由7+5这个概念（比如5+7也能导出12的概念）。

结论：7+5=12是综合的。

2 卡尔纳普主义者的回应

我们首先来看卡尔纳普对分析性的定义。

定义1：语义学体系S中的某语句是分析的（即L-真）=df 完全只依据S的语义学规则（即不需要任何经验手段）可得此语句为真。

（1）既然有了分析性的定义，我们只需要考察7+5=12这一数学命题是否符合这一定义。我们根据这个定义就很自然的排除了刘秩的论证，因为前提1不符合这个定义，我们只需要考虑的是7+5=12是否在一个语言系统中完全只由语义学规则判断为真，而不需要考虑是否是否这个等号左右两边是否是唯一的可能结果。比如说我们知道「未婚男人=单身汉」是分析的，但是如果我们构造一个新的概念，比如xyz，令xyz=未婚男人，那么我们不能说因为「未婚男人=单身汉」还有左右两边还可以替换成另外的概念所以其分析性就不再成立。

我们这里要进一步讨论一下，为什么7+5和5+7明显是两种不同的运算，虽然其外延都为12，而7+5=5+7在卡尔纳普看来也仍然是分析的。我们可知数学计算体系是一个外延体系，根据卡尔纳普由可置换性原理和外延体系定义导出的一个定理：

定理1：若S为外延体系，则有：等值的表达式在S中都为可置换，且L-等值的表达式在S中都为L-可置换。

可得5+7=7+5，进而可得7+5=7+5。很明显是分析式。在这种外延语境下我们不需要左右两边的式子为L-等值，当然也不需要严格的意义上为内涵同构（intensionally isomorphic），这是在信念语句中对等值式的严格要求。

（2）同样我们也可以以同样的理由拒绝掉康德给出的论证。一个命题是否为分析的不在于这个命题是怎么在直观上被给予我们的，因为我们即使在具体计算的操作上会有借助直观的成分在里面，但是这个命题为真完全是因为遵循了语义学规则而不是在直观上被正确的给予。

（更新3.15）根据刘秩的remarks第一条，我打算写一个简单的回应，至于哥德尔和奎因对分析性的批判我之后有时间会单独整理一篇文章给出回答。

首先要抱歉的是，我把你对分析与综合的定义当成了论证的前提，也没有仔细去读《纯批》中康德对分析和综合的概念，误认为你们所考察的数学命题的综合性就是卡尔纳普所定义的综合性（F-概念）。不过我并不认为你与康德的定义是合适的。

A）先来考察康德的定义，很感谢oldgoat对康德分析性概念的总结，我在这里可耻的直接拿来用了。

（1）分析命题不能使人获得新知。

（2）分析性是概念与概念之间的「从属」关系。

也就是说康德的论证焦点就是数学命题是否让人获得了新知。若人们从7+5=12中获得了新知，那么这一命题是综合的。我们很容易得到只有命题的前承包含后承（也就是（2）的条件）才符合分析性的定义。这样的话数学命题是明显不符合这个条件的。因为12中既不包含7的概念也不包含5的概念。这是一个显而易见的结论，因为康德的定义如此，我们可以认为初级数学计算中只有严格的A=A形式的计算（比如1=1，2=2）才符合分析性的条件。这样，不仅排除了大部分的数学命题的分析性，连大部分的逻辑系统（比如命题演算PC）的公理和定理都完全是综合的（因为按规定空列导出公理，而公理明显不包含在空列之中）。

那为何我说这个定义不恰当呢？

康德混乱之处的根源恰恰在于，（由于时代的局限）他所认识的数学是狭隘的，他误认为数学的真理和逻辑真理都是由于符合自然的事实所以才是真理，世界上不可能有其他的法则令7+5不等于12但仍然是正确的。然而事实上，确实是存在无数种这样的数学演算体系，即使7+5=12换成我们自然界存在对象的加法（比如火柴棒的相加）在直观上看起来多么自然多么正确，但是依据所构建的演算体系的规则，7+5并不等于12。只要我们不将其建立在标准的逻辑系统中，我们可以建立起无数违反这种直观的体系，但是仍然为真，因为这种真并不是事实为真，毕竟根本不是根据事实所构建的系统，而是我们处于并不实用的目的所自由约定选择的体系。

也就是说康德弄混了直观在数学演算上的作用。直观并不是像康德所说的那样保证数学演算为真，或者只有符合直观的才是真的。而是我们通过直观选择了一个符合直观的数学演算系统，所以在这个演算系统中所导出的数学命题都是符合直观的，进而是事实为真的（综合的）。

当然几何学也是一样。我们认为欧氏几何是综合为真的，仅仅是因为它符合我们对空间的直观，但是我们同样也可以建立非欧几何的公理系统，虽然它不符合我们对空间的直观理解，但是仍然在它的公理系统下为真。而且相对论对非欧几何式时空观的采用进一步证实了一个观点：在一个应用领域没有被得到应用或者找不到合理的解释的演算系统并不是没有价值的或者说是根据事实为假的，或许总会有得到出头的一日。（这也是我对卡尔纳普哲学的期待，我们被灌输这个时代「最好」的知识，所以很容易就自大的认为这些知识即是真理了，事实上我们并没有出生在一个值得我们抱有如此信念的时代。）

以上这些也算是对 @Suetonius 的问题尽我所能做到的回答了。

B）至于刘秩的定义，我认为存在著和康德同样的问题，即没有反映数学命题为真的实质。

首先根据你的分析性定义，符合这个定义的数学命题是不存在的，也就是比康德更为严苛的分析性定义。符合康德的分析命题定义的数学命题仅有A=A这个形式，但是这个形式的数学命题在你的定义中是不满足的，因为12=12并不是唯一可能的形式，左边或右边均可以替换成7+5之类的等外延式，不满足这个分析性的定义。所以事实上全部数学命题在你的定义下都是综合的。但是这说明不了什么问题。

虽然你的定义中没有用到直观这样的字眼，但是你所使用的定义还是存在和康德同样的问题，也就是没有反映数学命题为真的实质，换句话说就是没有认识到数学命题为真的真正的理由是什么。前面我说到我们普遍使用的算术系统的构建是因为这个算术系统的规则是由于符合直观才被选用的，其中的公理和公理导出的定理成真的原因并不是由于符合直观，而只是由于符合我们制定的规则罢了。当然更不是因为满足符合你所定义的综合性的条件才为真的。只是这些真的数学命题刚好满足你所定义的综合性条件罢了。

而你的定义，虽然能够保证所有的数学命题都为综合的，甚至你可以简单的扩张这个定义为只要是不满足某一种严苛条件的分析性，以至于除了我们常用的数学系统外，任何一个数学系统下的任何数学命题都为综合的。但是这个定义却并没有说出任何其他实质的什么内容，这个定义也没有什么实用价值，我们只能说的确是存在著这样一个让所有的数学命题都被定义为综合命题的这样一个条件，仅此而已。

其实到这里就应该结束了，不过我还是想多赘述下「数学命题是如何完全仅根据语义学规则为真的」这一问题。但是这个观点在作为逻辑主义者的卡尔纳普那里是如何成立的呢？

3 卡尔纳普的数学基础论构想

3.1 约定主义

这里难以介绍卡尔纳普的语义学计划，我之前的专栏里面虽然介绍了基础语义学和L-语义学，但是并没有介绍句法学以及语义学和句法学的关系。只有全面掌握了卡尔纳普的计划，才能够具体的理解语言体系是如何被人工构成的。在语言体系构成中面临著如何选择演算体系的问题。卡尔纳普提供了两种方式，一种是先构成语义学体系，然后根据语义学体系选择合适的演算体系。第二种则相反。根据卡尔纳普，在这两种方式中，演算体系都在不同程度上是自由约定构成的。

首先第一种，演绎规则可以由我们任意选择，先由演绎规则构成语言体系的基础，然后给这个体系加以解释。这种情况下演算体系自然是约定而来的。第二种的话，我们要首先给出逻辑符号的解释，所以说逻辑演算体系就不能自由的选择了，这种情况下一种演算体系要么是对的要么是错的。不过即使如此约定仍有意义。因为构成逻辑演绎系统的基础，也就是逻辑符号的解释（比如说如何决定真值条件），是可以由我们自由选择的。

3.2 逻辑演算问题

我们首先来大概了解下数学演算的基础，也就是逻辑演算的问题。

我们把在处理实际问题时，在科学中实际上被应用的演算体系，其大多数情况下所被给予的解释，被称为这种演算的通常解释（customary interpretation）。

根据卡尔纳普，逻辑和数学的演算属于逻辑的，L-决定的解释。几何学和物理学的演算属于描述的，事实的解释。

逻辑演算包括了语句演算（sentential calculus），语句演算加上了全称语句和存在语句的的一阶谓词（函数）演算（lower functional calculus），一阶谓词演算加上高阶谓词的高阶谓词演算，等等。根据卡尔纳普，逻辑演算的情况下，其通常解释即是迄今为止所使用的唯一解释，所以其解释也可被称为标准解释（normal interpretation）。

3.3 算术演算问题

在逻辑演算的范围之内可以定义表达数字或算术演算的符号。（方法由Frege发现，由Russell和Whitehead发展）并且只要确定恰当的变形规则，通常的演算中全部的定理都可以在这个演算之中是可证明的。

我们要构建一个数学的或物理的演算体系（被称为非逻辑演算）的话，要在逻辑基础演算的基础上加上特殊演算。这种特殊演算的部分被称为公理系统（axiom system）（比如说古典皮亚诺公理系）。只有具备逻辑基础演算的数学或物理学系统，才可以证明公理系中任意的定理，或者利用公理系进行的演绎才可能成功。基础逻辑演算同样也是逻辑演算的特殊解释的前提。

公理系中包含著逻辑定元还有特殊的或者是公理定元等其它的定元，这些有些被看作是基础符号，有些则被看作是被定义的符号。而被定义的这些符号可以进一步追溯到基础特殊符号以及基础符号。公理系的解释是通过给一些特殊符号添加语义学规则而给予的。一旦规则被给出，被定义的特殊符号的解释也就被其规则以及定义所间接决定了。如果所有的特殊符号都被解释为逻辑符号的话，那这个解释就是逻辑的且L-决定的解释。若不是的话，就是描述的解释。

（上述规则是划分数学几何学和物理几何学的依据，不过我不想在这篇笔记里进一步展开了。数学演算的通常解释划归为逻辑解释，而几何学解释划归为事实或描述解释，我感觉这是卡尔纳普非常奇妙的构想。据我粗浅的了解，他的著作中有关逻辑学应用的部分无一不是举空间和几何学的例子（他的博士论文的主题），而且似乎都提到了上述的划分，我打算以后专门聊一下这个话题。）

3.4 皮亚诺公理系统的逻辑解释

上面说的实在太抽象。这里我们以皮亚诺的（初级）算术公理系统为例（通常被解释为自然数理论，也可以有别的解释，比如说正整数理论，后面会讲），来了解数学演算是如何在逻辑演算基础上被解释的。

作为这个系统的前提的逻辑基础演算为：一阶谓词演算、到一阶谓词变元「对所有F，有」为止的高阶谓词演算的一部分、对「=」的定义。

特殊基本符号为「b」，「N」，「『」。

*皮亚诺公理系的五个公理：