从傅里叶变换进阶到小波变换（四）
一、傅里叶变换 （FT）
二、傅里叶变换（FT）的缺点与短时傅里叶变换（STFT）
三、短时傅里叶变换（STFT）的缺点与连续小波变换（CWT）
四、连续小波变换（CWT）的缺点与离散小波变换（DWT）
四、连续小波变换（CWT）的缺点与离散小波变换（DWT）
1、连续小波变换（CWT）的缺点
在上一篇文章（https://zhuanlan.zhihu.com/p/68323379）中我们讲解了 CWT可以实现动态解析度的时频分析。CWT公式为：，
表示原始信号。你可能已经注意到了，这里的
是一个连续函数。
但是在第二篇文章（https://zhuanlan.zhihu.com/p/66246381）中我们讲过，实际采样信号往往具有两个特点：1、离散性，就是采集数据不连续，很容易理解，采集信号肯定是一个一个数据采集的；2、有限性，虽然理想的CWT是从 进行积分的，但是实际信号往往实在一个区间内
的。如下图所示。
所以，由于CWT需要一个连续信号，但是实际采样信号往往是离散的，我们无法直接对实际信号进行CWT。
或许你想，我们对实际采样信号进行插值连续化不就可以使得其连续了吗？
是的。将实际采样信号插值连续化之后，我们——人，是可对它进行CWT的。
但是，我们也都知道，我们的帮手——计算机，是无法处理连续问题的。计算机只能处理离散问题。如果计算机要进行CWT，就意味著需要计算机做无穷次运算，计算机计算能力再强也是做不到的。
因此，为了使得计算机可以进行小波变换，我们需要引入离散小波变换（DWT）。
2、离散小波变换（DWT）的Wallet演算法
DWT有很多种实现方式，我们在这里介绍Wallet演算法，它是DWT的以一种经典的快速演算法，也比较易懂。
我们首先来回顾一下上一篇文章讲过的动态解析度图：高频部分，窄窗，高的时域解析度，低的频域解析度；低频部分，宽窗，低的时域解析度，高的频域解析度。
我们是利用小波母函数的挤压和拉伸来实现动态解析度的：
当小波母函数被挤压的时候，频率就高，此时窗子窄，时域解析度就好，根据海森堡测不准原理，频域解析度就差；
当小波母函数被拉伸的时候，频率就低，此时窗子宽，时域解析度就差，根据海森堡测不准原理，频域解析度就好。
也就是说，我们控制的是不同频率对应的窗长（即时域解析度），频率解析度是通过海森堡测不准原理得到的，从而达到了动态解析度。
那么，如果我们这次不控制窗长（即时域解析度），转而控制频域解析度，能否达到动态解析度呢？
答案是可以，这就是Wallet演算法要解决的问题。
半子带滤波
我们知道，小波母函数本质上是一种带通滤波器。那么，假设可以通过小波母函数构造得到两个滤波器（至于怎么得到后续会介绍一下），包括一个高通滤波器和一个低通滤波器。
假设信号中的最高频率为 。那么，高通滤波器的作用就是得到
的部分，低通滤波器的作用就是得到
的部分。如下图所示：
我们将这个过程称为一次半子带滤波。
下采样与上采样
我们定义一个N倍下采样过程：将采样点N倍稀释。如下，就是一个2倍下采样过程，将采样点稀释2倍，即：每2个点采样数据点，就去除一个点。
N倍上采样过程：将采样点数量增加N倍。一般通过补0，或者插值的方法实现上采样。
离散小波分解
我们将一次半子带滤波+一次2倍下采样称为一层小波分解。如下图所示，图中的「箭头+2」表示一次2倍下采样。
假设原采样信号有 个点，信号最高频率为
（根据采样定律，
为采样频率的一半）。
经过一次高通滤波后，得到了 的部分，也是
个点，再经过一次2倍下采样，变成了
个点，我们将这
个点称为小波分解的高频系数（为什么叫作系数会在后面解释）。
经过一次低通滤波后，得到了 的部分，也是
个点，再经过一次2倍下采样，变成了
个点，我们将这
个点称为小波分解的低频系数。
也就是说，经过一层小波分解的信号，它的总长度加起来，还是 ，是不变的。
现在，我们已经对 个点的原信号进行了第一层小波分解，得到了
个点的高频系数和
个点的低频系数。
那么，我们保持 个点的高频系数不变，把
个点的低频系数作为信号，再进行一次小波分解。于是可以得到
个点的高频系数和
个点的低频系数。
这个过程被称为第2层小波分解。我们验证一下，经过2层小波分解的信号，它的总长度加起来，还是 ，是不变的。
依此类推，我们可以进行第三层，第四层小波分解，如图所示，直到第 层小波分解。在第
层小波分解，由于不断的下采样，低频系数和高频系数都只剩1个数了，小波分解无法进行下去了。
因此，小波分解的原始信号个数一般也需要是2的幂次。不过，在各种数学计算软体里，如果输入不是2的幂次，它会自动帮你补零到2的幂次。
我们取4层小波分解的结果来看一下。
在频域上，我们得到的是 ，
，
，
，
频域区间的系数。
在时域上，由于不断的2倍下采样，不断地丢弃数据，所以最后一层分解得到的，
的时域解析度最差，第一层分解保留的
时域解析度最好。
那么，我们得到的解析度就是这样子的：
这，不就是上一篇文章我们讲过的小波变换得到的动态解析度吗？
是的！这就是离散小波变换的快速演算法之一——Wallet演算法，通过不断的半子带滤波和下采样，控制不同频率成分的频域解析度，进而达到动态解析度。
最后，用一张比较经典的图，再来演示一下小波分解的过程。 为采样信号的最高频率。
代表高通滤波器，
代表低通滤波器，「箭头+2」表示2倍下采样。
再来举个例子形象地说明一下DWT的使用吧。
希望对于一个采样率为1000HZ的非稳态信号进行小波分解，下图为包含了256个采样点（即256ms）的原始采样信号。
1、首先，选择小波分解的层次。
可以根据对最低频率区间的要求来选择小波分解的层数。比如，我之前做项目的时候，采样率为1000HZ，那么信号的最高频率为 。我认为对于频率低于20HZ的成分，不需要再进一步区分了。因此，我选择５层小波分解，得到的最低一层的频率区间为
，即为
，这就够用了。
2、接下来，进行5层小波分解，得到小波分解系数。
如下图中，图1依然是原始采样信号 ，图2到图6为第1层到第5层小波分解的高频系数，图7为第5层小波分解的低频系数。如图所示，这些小波分解系数对应著不同的频率区间。
这就是DWT了，又称为小波分解。
这里提一下，小波分解是可逆的，即可以通过不同频率区间的小波分解系数进行重构，得到不同频率区间的重构信号。
3、所以，最后，进行小波重构，得到重构信号。
如下图中，图1依然是原始采样信号，图2到图7为通过不同频率区间的小波系数进行重构，得到的重构信号。将图2到图7加起来就可以得到重构原始信号，其和原始采样信号的误差称为重构误差。
3、Wallet演算法背后的数学原理简介
这一部分主要是为了解答上一部分中的两个问题。
1、在上一部分，我们「假设可以通过小波母函数构造得到两个滤波器」，那么，怎么得到刚好可以具有以上特性的滤波器呢？
2、在上一部分，我们将小波分解之后的结果称为「系数」，那么，为什么称为系数呢？
先说一下，这部分我不是弄得非常懂，毕竟我只是个做工程的本科生，不是做数学的大佬。我凭自己的理解写一写大概，并推荐了两篇个人觉得讲得很好的回答。
我们用Haar小波做例子。
首先，介绍一个Haar尺度函数（又称为父小波），记为 ，
，如下图。
通过Haar尺度函数 ，可以得到Haar母小波
，
，如下图。
现在，对于一个 点的原始采样信号，如果我们可以用
个做了时域平移的Haar尺度函数和
个做了时域平移的Haar母小波，来逼近原信号，就可以得到用
个Haar尺度函数的系数和
个Haar母小波的系数。
从直观上看，Haar尺度函数只是一条线，而Haar母小波则是一个波。所以，Haar母小波所能表示出来的信息应该更加细致。因此， 个Haar母小波组合起来，应该代表的是原始信号的细节部分，也就是高频部分；
个Haar尺度函数组合起来，代表的是原始信号的粗略部分，也就是低频部分。
我们将 个Haar母小波的系数称为高频系数，将
个Haar尺度函数的系数称为低频系数。
所以，DWT的滤波功能，是通过利用尺度函数和母小波重构信号，获取重构系数来获得的，这已经定性地解决了本部分提出的问题。
关于DWT背后的数学原理，推荐两篇回答：
关右：通过Haar小波认识离散小波变换
Jainszhang：小波变换完美通俗讲解系列之 （二）
最后，由于DWT分解得到的是高频系数和低频系数，也就是用尺度函数以及母小波表示原信号的时候的一些重构系数，所以通过重构系数可以重构该信号，这被称为小波分解的重构。这也说明了小波分解是可逆的。
1335：从傅里叶变换进阶到小波变换（一）
1335：从傅里叶变换进阶到小波变换（二）1335：从傅里叶变换进阶到小波变换（三）
http://feihu.eng.ua.edu/NSF_TUES/w7_2.pdf(参考资料）
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