雖然早就有人跟我說過量子力學的重點是基底，但我還是透過不斷的寫題目才理解了這一個事實．

　　描述一個系統必須要有所依據，例如平面上的位置我們會以 x 為多少、y 為多少來描述，x、y 稱為這個系統的基底。當然，一般學過國中數學的人都很熟悉這個例子了，但在量子力學裡的基底卻令我困擾了很久，因為在這裡討論時，方向與大小都不再重要了，因為量子力學裡面的向量空間並不是真有實際的方向，但即使如此，我們還是可以討論分量，說到這裡，以前的我覺得很抽象，但現在我想清楚了。位置要以位置的基底來描述，即 x 為多少、y 為多少，其基底依然是位置；而量子力學中所討論的是波函數，函數要以函數的基底來描述，當然基底也依然是函數。即$ \vec{r} = a \hat{x}+b\hat{y}$ 對應於 $\psi(x)=c f(x)+d g(x)$。這兩個式子呈現方式相同，但後者卻不是真正的空間。這裡的 $a$、$b$ 各是 $\vec{r}$ 在 $\hat{x}$ 與 $\hat{y}$ 上的分量，同樣的 $c$ 和 $d$ 各別是 $\psi(x)$ 在 $f(x)$ 和 $g(x)$ 上的分量。

　　什麼樣的基底才叫好呢？第一，它能描述系統的所有可能；第二，正交。即使是描述位置的基底也是正交才是好基底。在量子力學中，我們選擇系統的特徵態為基底，用來描述系統，特徵態的優點之一是它們彼此正交。所謂特徵態即無論我們怎麼量測系統，所量測到的結果必然只可能是這些態。這也就是為什麼我們一直在求特徵態的原因了。而我們的量測會得到哪一個特徵態，完全是機率問題。而且這個機率是量子力學的本質，在我們量測系統之前，它不處於任何一個特徵態，而是處於那些特徵態的線性組合，但一旦我們做了量測，態則會塌縮到所有特徵態中的其中一個。這個機率的本質讓愛因斯坦和玻耳有了長達數十年的論戰，也讓薛丁格的貓赫赫有名，不過至今為止，我們還看不到量子力學出錯，暫且就讓我們先相信下去吧。

　　我們會量到哪一個特徵態取決於機率，但每個特徵態被量測到的機率卻不相同。例如 $\psi(x)= c_1 \psi_1 (x) + c_2 \psi_2 (x)$，量到 $\psi_1(x)$ 的機率是 $|c_1|^2$，而量到 $\psi_2(x)$ 的機率是 $|c_2|^2$，當然$|c_1|^2 + |c_2|^2 =1$。這就是在量子力學中，分量的物理意義了。（這裡沒有去提歸一的處理，不過我相信會看這篇文章的人應該都知道了。）

　　前面談了許多，現在來做一個實際的題目，幫助你更能理解基底的意義。有一個位能的形式是 x = 0 到 x = a 之間為 0，其他的地方則為 $\infty$，這是量物課中常見的一維無限位能井，則其特徵態會是 $\sqrt{ 2 \over a} \sin({n \pi x \over a})$，因為我想討論的是基底，所以在此不解釋如何求得特徵態，現在假設它處於基態，即代 $n=1$ 得 $\psi_{i,1} = \sqrt{2 \over a} \sin({\pi \over a})$，如果位能井瞬間變寬成原來的兩倍，使得位能形式是在 x = 0 到 x = 2a 之間為 0，其他則為 $\infty$，你去量測這個系統時，測到它為基態的機率是多少？

　　這題雖然沒有寫清楚，但這裡的基態是指後來系統的基態，而非原先系統的基態。假如問題是測得原先系統的基態之機率為多少，完全不需要計算便能回答是 $0$，理由是無論我們如何量測，都只能測到後來這個系統的特徵態。那麼測到後來系統的基態的機率是多少呢？這個系統的特徵態可以線性組合成這個系統中所有可能的態，當然也包含了原先系統的基態，因此我們可以寫出 $\psi_{i,1}(x)=\sum\limits_{k=1}^{n} c_k \psi_{f,k}(x)$，那麼求量測得到後來系統的基態機率便要找 $\psi_{i,1}(x)$ 在 $\psi_{f,1}$ 上的分量，只要將兩個函數內積就好了。它們的內積寫為 $\int_0^a \psi_{i,1}^*(x)\psi_{f,1}(x) dx$。接下來就是微積分的工作了，將找出來的數字絕對值平方便是量得基態的機率。

　　我不知道該如何以 letax 指令打出狄拉克符號，簡單的說，它是一個很方便的符號，但很不幸的，我為它困擾了很久，直到同學為我解釋後，我才明白它跟一般的波函數沒什麼兩樣，除了更方便這點。狄拉克符號的方便之處就是它令內積這件事情變成了簡單的比比看。喔，我忘了提，內積就是在找分量。嗯，然後我發現關於基底我曾寫過另一篇文章，

http://yin8421.pixnet.net/blog/post/37875693

，其寫的方式比較不那麼數學，用到比較多現實中的例子，但有提到一些狄拉克符號，或許可以參考看看。

　　雖然還有很多體會，但或許下次再補充吧～～