本人是一名高二學生，最近剛學了不確定性關係：Δx·Δp≥h/4π，一直有個問題：在做光的衍射實驗時，如果使狹縫非常小，小到恰好可以通過一個光子時，那隻要是通過的光子，通過的位置不就固定了嗎，這樣的話可以看成位置的不確定性為0嗎？（雖然我知道根據公式Δx不能為0隻能無窮小）有大佬來解釋一下嗎？

要回答這個問題，首先我們得看下不確定性關係的證明。

首先所謂不確定度，或者說漲落，對應的是統計中的概念標準差，也就是方差的算術平方根，即

[公式]

其中 [公式]是歸一化的態

當 [公式] 時，有 [公式] ，從而 [公式] ，即 [公式] 是 [公式] 的特徵向量。

我們考慮希爾伯特空間 [公式] 中的兩個稠定自伴運算元 [公式] 滿足對易子 [公式] 也是稠定運算元，且 [公式] 是本質自伴運算元，對任意歸一化態 [公式] ，作運算元：

[公式]

考慮內積

[公式]

如果 [公式] 從而這是個關於k的二次不等式，要使它恆成立，需要判別式：

[公式]

從而 [公式] 。

否則 [公式] 。

從這個角度看，歸一化態 [公式] 的存在性是必須的，問題變成是否能找到一個 [公式] 使得 [公式] ，可惜這是不存在的，因為無窮維空間的性質不同，特徵值需要推廣為譜。

規定使得 [公式] 在全空間有定義的複數 [公式] 為運算元 [公式] 的正則值，否則稱為譜。譜分3種：

1.點譜

[公式] 不存在，也就是說 [公式] 不是單射，這時 [公式] 就叫 [公式] 關於 [公式] 的特徵子空間，其中的向量叫[公式] 關於 [公式]特徵向量，它的維數叫做點譜[公式]的簡併度；

2.連續譜

[公式] 只存在於全空間的一個稠密子空間，也就是說 [公式] 不是滿射，但值域還是稠密的，物理上體現為觀測值可以連續變化，坐標就是這樣的運算元；

3.剩餘譜

[公式] 不但不是滿射，連值域都不是稠密的，這種譜對於可以作為物理量的自伴運算元而言是不存在的。

從這個角度說，坐標運算元 [公式] 不存在特徵態，因此不確定度永遠不能為0，從實驗上來看就是我們測量坐標、動量這些連續量時，結果不可避免地帶有誤差。

我從物理上說一下 @YorkYoung 的答案里說「從這個角度說，坐標運算元 [公式] 不存在特徵態，因此不確定度永遠不能為0，從實驗上來看就是我們測量坐標、動量這些連續量時，結果不可避免地帶有誤差。」的原因。

[公式] ，對於有質量的粒子，當 [公式] 時，有 [公式] 即 [公式]

也就是說，當你把位置不確定度減小到二分之一粒子康普頓波長以下時，粒子的動量不確定度已經大到粒子能量足以從真空中激發出同類粒子，這時對原粒子的位置測量已經失去了意義。

很小的空間尺度對應著很高的能量，而量子力學是一個非相對論理論，在高能下會失效。

另外，題主說「如果使狹縫非常小，小到恰好可以通過一個光子時」顯然是把光子看成了類似於球體的東西，有一個直徑，所以認為足夠小的縫（和光子直徑差不多一樣大）可以正好只通過一個光子，但問題是目前認為光子是點粒子，沒有大小，不能用經典的球對比。

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波函數的連續性是量子力學的基本假設嗎？?

www.zhihu.com圖標能量本徵態與坐標本徵態為何都能作為空間的一組完備基？?

www.zhihu.com圖標

不確定性原理指的是位置與動量無法同時確定：你不能同時測得 [公式] 和 [公式] .

如果你想測量位置測量的更精準，同時不在乎動量的精確度的話，那你可以通過犧牲動量精確度的方式來提高位置測量的精確度，只要二者乘積滿足不確定性原理就好。

類似的技術已經出現在物理研究中，比如說quantum squeezing. Squeeze，就是擠壓的意思。顧名思義，就是通過「擠壓」其中一個變數的精確度來獲得更高的該變數的精確度，與此同時因為擠壓使另一個變數的精確度變低。嚴禁一點就是：在滿足不等式Δx·Δp≥h/4π的情況下，如果降低Δx，那Δp自然會變大。

題主在問題描述里提到的「壓縮狹縫」的這個想法還挺形似的，鼓勵一下。

不過對於光子來說這個描述比較有問題。其一是，光子並不是一個有體積的粒子；其二是，光子本身是一個很深的坑，包括位置算符啦之類的東西都很不簡單，等我再學個兩三年說不定能參透一點，嗯。

還有最後一點就是，題中的問題描述是有問題的：

那隻要是通過的光子，通過的位置不就固定了嗎，這樣的話可以看成位置的不確定性為0嗎

為什麼把縫隙變窄，通過的粒子位置就固定了？這種想法依然是經典物理的想法。事實上，我們已經觀測到了單電子的雙縫干涉條紋：一次只發射一個電子，最後發現依然能觀測到干涉現象。類似的，也可以降低光源的強度，使其一次只發出少量的光子，我們同樣可以觀測到干涉條文。

最重要的原因是，不確定性原理與波粒二象性息息相關。波粒二象性指的不是光不是波而是粒子，也不是電子不是粒子而是波，指的是光也好，電子也好，這些東西同時具有波和粒子的性質。波的性質與粒子的性質就像一枚硬幣的兩面：兩面在一起才是完整的描述。

其中一個答案提到，可以考慮位置波函數 [公式] ，這樣位置是確定的。然而此時動量波函數為 [公式] ，也就是動量空間的平面波（就是sine和cosine），無法滿足歸一化的條件。這也就是為什麼需要波包的原因。

（寫著寫著覺得寫得太不嚴謹了，實在不好意思...其實想寫得更嚴格一些，但礙於學識以及文筆，只能寫出這個很粗略的描述。希望能幫助路過的人窺知一二吧。）

我大概可以想到的一個極端例子 平面波 無限大的平面產生只往一個方向傳播的波 前者 [公式] 無限大 後者 [公式] 類似 [公式] 函數

實驗上應該不行吧，畢竟現在的儀器連電子的體積都無法測量到。

不可能，光子依然是波，如果你設法探測光子的位置，那麼使用新的粒子探測光子在某個時刻的位置的同時，也會因為粒子間的作用改變光子動量。

其次當位置精確測量時，為了保證兩者的乘積滿足海森堡關係，不然要求對動量的測量無法進行，所以△x不能為0

從波的角度去理解，由於粒子尺寸的原因，如果你精確測量波在某一時刻的位置，實際上已經干涉到了波在那一點處的動量，類似於你精確測量繩上的弦振動的時候，用手在某個時刻捏住了那一點，導致後續的動量無法測量

我的理解是不存在這樣的狹縫。構成狹縫的東西本身也有自己的位置不確定度。

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