為什麼薛定諤方程的解本來是一堆複雜的函數，但是到了左矢右矢裡面就變成了向量中的一堆數字？

我們學量子力學兩個學期了，一開始給出薛定諤方程，並且使用薛定諤方程解了一些問題。
後來又推出了新的表述方式，使用了一些矩陣和行向量列向量以及一些狄拉克符號，也能解決一些問題。
但是從來沒有說過這兩種表述之間的內在的等價性。我想知道它們等價的原因。
P.S. 使用的教材是曾謹言Griffiths

這是我大學剛開始學量子力學也曾感到困惑的問題，在多年的學習積累之後，我才明白。解決這個問題的同時，你也就解決了為什麼初等量子力學課程中的薛定諤方程都是「猜」出來的？不猜就得不到薛定諤方程嗎？有沒有不猜就能得到薛定諤方程的方法（詳見文末）。

很多新人可能一開始有這個疑惑的時候，甚至不知道這到底是數學問題還是物理問題，也就是說這個現象是量子力學特有的嗎？首先，這個問題的答案是，這是純粹的數學問題。當量子力學假定粒子的概率振幅可以用薛定諤方程（注意它是微分方程）描述的時候，就已經暗藏了可以用線性代數理論描述的可能性。邏輯如下：

1.任何線性微分方程的所有解構成一個線性空間

這一點任何學過高等數學中的微分方程問題就已經明白，讓我們隨便拿一個微分方程出來（不如用一個通式），任意線性微分方程可以表達為如下形式：

例如，薛定諤方程 (取自然單位 ,這是個偏微分方程，我們首先要分離變數)分離變數後得到哈密頓算符的本徵方程 ,其中，左邊為算符方程，右邊為本徵值，也就是說右邊是一個數字乘上函數 ,在這個特例之中，（1）式中的帶入的具體表達式就可以了。要得到上述的結論，只需要看到假設有兩個函數都滿足方程（1），即

那麼，的任意線性組合都是（1）的解，即(式中為任意複數)

這不禁讓我們想起線性空間的定義，所謂的線性空間只是一個滿足特定條件的集合，去搜索線性空間的定義大概會得到如下的結果：

Rough Definition. （Vector space）A vector space is a set of elements in which for every two elements , any linear combination of them is also an element of the set, that is , where is numbers of a field.

當然，如果要詳細描述，就要說「在此集合上引入一種運算，將2個元素映射到第三個元素...」，或者還要定義0元素，滿足其與任何元素相加不改變該元素，好了，我們不要去在意這些細節（你可能需要去查一下複線性空間的嚴格定義），重點是你應該已經發現，這個定義正好就是任何線性微分方程的解所滿足的條件（取數域為複數域），因此它們整體的集合構成一個線性空間（vector space），因此我們說，當你認為線性微分方程薛定諤方程的解可以描述物理態時，就已經暗示了它的解是某個線性空間中的元素（事實上，物理態要求概率不大於1，因此滿足實際條件的解只是「長度（模）」為1的矢量集合，這些矢量構成薛定諤方程解空間中的一個半徑為1的球面）。

2. 任何線性算符等價於解空間中的線性變換

那麼線性算符（Operator）例如哈密頓算符在這個理論中又代表著什麼呢？答案是，它表示了一種線性變換（Linear transformation），所謂的線性變換就是將線性空間中的任意元素變成另外一個元素的映射，其需要滿足的條件是 , 顯然哈密頓算符是滿足這個條件的，這是被微分運算的線性所保證的。在線性代數中，我們學過對於有限維的線性空間，取定一組基後，向量可以表示成數組，而線性變換可以表示成矩陣，對於微分方程理論，熟悉量子力學的人應該知道，薛定諤方程的解構成的空間是無窮維的，我們稱之為某個Hilbert空間，換句話說可以有無窮個基矢量。

為了更清楚地看到這一點，我們對上述薛定諤方程的解空間進行分解，假定薛定諤方程解的空間中可以找到一組基矢量 (在這裡我們開始使用Dirac符號,為了強調解是矢量，我們用這種特殊的表達讓它看起來像是個箭頭) ,對於任意解空間中的向量都可以表示成上述基的線性組合，即

Remark. 基失滿足正交歸一化條件（orthogonality） , delta函數為1（）或0( ). 如果你對Dirac symbol有疑問，可以參考

怎麼通俗易懂地理解左矢量和右矢量？?

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任意算符，例如哈密頓算符作用在其上得到的結果是

如果我們使用一個技巧，叫做completeness relation,即 ,這個關係只是說任何向量都能分解為這組基的線性組合，因為

只要我們定義即可(注意復空間的內積定義需要滿足共軛條件)。

將completeness relation應用到（2）式的左式並對其與做內積得

定義，同時使用之前對的定義，重新整理（3）式得

將看作一個矢量的話，上式左邊根據的定義即為 , 所以（4）其實是

不知此式是否喚起了你線性代數中矩陣運算的記憶，它其實可以寫成

使用這種取定一組基失表示出來的微分方程形式被稱作representation of operator(譯為表示，某些中文量子力學中稱之為表象)，對於本徵方程在這組基下則表示成

接下來的問題當然就是求其本徵值，至少上式在形式上與有限維的線性空間理論中的矩陣本徵方程相似，只不過它是無窮維的，對於此類問題，其實是在問，對於Hilbert空間中的算符，是否存在一系列本徵值以及一組本徵矢量使其滿足上述本徵方程，這個問題的結論在數學中被稱作spectrum theorem（譜定理），關於研究譜的理論據說是泛函分析的內容，對此我現在還沒有學到，所以就不再用一些道聽途說的信息來誤導你了（這部分留待將來有機會再補充），結論是任何線性微分方程對應的算符確實存在確定的譜，比如哈密頓算符的能譜，動量算符的連續譜以及角動量算符的本徵譜，對此想要有深入研究的同學建議自學泛函分析。

Remark. 最後要補充的一點就是，對於（2）式中的抽象表達方式，原來的微分方程其實是（2）式在特定基失上的表示，比如取定坐標本徵態，則波函數 , 而哈密頓量則變成了微分運算，算符變成微分運算是譜連續時的特殊情況，就像求和在變數連續情況下變成積分，連續時求和變數的變化本身就與微分密切相關，更多細節請參考Feynman Lectures on Physics卷3或J.J.Sakurai Modern Quantum Mechanics。

不用猜，你就能得到薛定諤方程

通常我們在剛開始學習量子力學的時候，為了簡單地讓大家快速學習QM的計算技巧，感受到QM的用處，都常用「猜」來引出薛定諤方程。

其方法核心是

但不是每個人都能接受這種討巧卻不嚴謹的論證。在我們已經看到上述線性空間與微分方程之間的聯繫的背景下，我們可以用一種純粹代數的方法來導出薛定諤方程。

對任意態 ,在一段時間後系統變成了態 ,我們想要知道系統是如何從前者變到後者，運動方程即是用來描述這種變化過程的。我們已知態是某希爾伯特空間中的矢量，態變化自然可以寫成一個算符對其映射，即

態如何變化實際上等價於算符具體形式是什麼的問題。

我們首先來觀察一下有哪些性質：

,因為這相當於沒有給系統變化的時間 .
,因為當態從變化到再變化到後,相當於它從直接變化到 ,這是時間的連續性保證的.
, 是單位算符.這條是由於 ,因為測量任何態出現它自己的概率總是100%.

根據第1條，如果足夠小，一定趨近於，我們可以認為它在附近的增量為的一階小量或者更高階小量，但我們先嘗試一階，即

式中的出現只是一種習慣，增加的常數只是改變了我們對算符的定義而已（你也可以直接定義），這種定義能夠保證是厄米算符並且具有能量的量綱。

將代入2和3就能發現上述定義直接滿足性質2，3，若認為只有二階以上小量，則無法保證性質2.

接下來，我們利用上面的性質推導：

將上式左邊的作為的函數進行一階級數展開得到

上式右邊用，左邊抵消得到

或約掉即得薛定諤方程

上式只是一個抽象的代數方程，因為的具體形式還不知道，但已經可以看到薛定諤方程本身並不需要「猜"，而是有更本質的代數性質。通過對量子態的討論以及對平移對稱性，旋轉對稱性等的討論，我們可以構造出更多算符，如動量算符和角動量算符，並且導出其對易關係。然後通過對連續本徵值的討論，我們可以得到在坐標本徵態為基失情況下的薛定諤方程的具體形式（此即前文所描述的代數方程向微分方程轉化的方法），則可得到初等量子力學中學到的微分方程形式的薛定諤方程。本文只介紹大概思路，完整的過程及應用，請看費曼物理學講義第3卷或櫻井的現代量子力學。

為什麼是一致的？

一方面，量子力學的基本假設使得整個量子力學的態和力學量之間的關係可以放到線性代數的框架里去。。

另一方面，斯圖姆劉維爾型微分方程的解的邊值關係也可以放到線性代數的框架里去。。

所以，題主要麼需要補習線性代數，要麼需要補習數學物理方法。。

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qfzklm：為什麼初學量子力學一個矩陣都沒有看到，卻說線性代數是量子力學的數學語言？

我是分不清楚線性代數和泛函分析的，反正框架是差不多的。。

╮(╯_╰)╭

Cohen-Tannoudji的書第二章就在討論這個事。仔細閱讀定會受益匪淺。不過這本書有個特點是啰嗦。加油吧少年。

還有上邊有人 @qfzklm 提到了量子力學用束縛態理解最好，在歷史上看確實如此。海森堡當年提出「矩陣力學」是因為他要處理氫原子能級問題，這個問題有代數解法。而薛定諤用帶駐波的波動方程重新描述了這個問題。散射問題由於涉及到平面波這個「不是基的基」，它的解在原點也有奇異性，一般沒人講（我在南大高等量子相聲學裡學到一大堆格林函數，可惜散射問題只能看羅格牛頓的《散射理論》自學）

Sturm-Liuoville問題的最簡單介紹在我校姜穎老師的《數學物理方法》第三章就拿出來講了，個人感覺比北大和南大兩本書在角落裡才提及這個問題要好些。

推薦幾本書

《Linear Operators for Quantum Mechanics》 Thomas F. Jordan, Physics【摘要書評試讀】圖書?

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《量子力學中的數學概念(英文版)》格斯特松【摘要書評試讀】圖書?

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關於這個問題，我之前看的書是蘇汝鏗的《量子力學》，也是一臉懵逼，波函數是什麼，態矢量是什麼，什麼是表象（Representation），什麼是繪景（Picture）？直到我看了Sakurai的量子力學書……

其實解釋起來很簡單，如果我們只是定義量子體系的一個狀態的話，直接用態矢量，比如說就可以了（表示由一個量子數描述的體系，具體這個量子數是啥並不重要，可以是能量，動量，角動量etc.）。那麼波函數是啥東西呢？其實你可以認為是這個波函數在坐標表象的展開。比如我把這個態矢量寫成波函數。那麼我們稱後面的那個係數為，即日常見到的（坐標表象）波函數，可以認為是態矢量在坐標（波函數）基底下的投影。

當然除了坐標表象以外的話，我們還可以用動量etc.表象來展開一個態矢量。一般來說坐標表象下係數是連續的，表現為波函數在空間中連續，同樣的一個波函數到了動量表象下面可能就是分立的，比如單色的平面波，這樣我們就可以把波函數寫成列向量的形式（就排列一下分立的值），看起來是不是就像矩陣力學了？在這一套表示下，波函數就是列（或行，對偶空間的波函數）向量，算符就是矩陣。我們日常見到的積分就是在坐標表象上的算符矩陣的矩陣元。