问

怎么证明圆锥曲线的光学特性，最好有不用到求导的方法？

答

  • 椭圆

由椭圆的定义——平面上，到定点 E 与 F 距离之和为定值 2a 的点的轨迹，这个定义蕴含著一个很显然的事实：

  • 当 P 在椭圆外时，有 PE+PF>2a ；
  • 当 P 在椭圆上时，有 PE+PF=2a；
  • 当 P 在椭圆内时，有 PE+PF<2a.

见上图，过椭圆上一点 P 的切线，除 P 点外切线上任意一点 Q 都在椭圆外（凸性），于是由上面的观察得到：

QE+QF>PE+PF=2a

所以 P 点是切线上到定点 E 与 F 距离之和最小点，故 P 点是反射点。

  • 抛物线

在理解椭圆光学性质的基础上，我们先固定一个焦点 E ，然后将另一个焦点 F 牵引到无穷远处，离心率

lim_{F ightarrow infty}{e}=1

即椭圆最终变为抛物线，而此时反射光 PF 的极限位置平行于椭圆长轴。[1]

  • 双曲线

类似于椭圆的分析，不过我们要熟悉一个结论：

引理

如上图 d(A,l)>d(B,l) ，选取直线 l 上的动点 P ，使得 PA-PB 最大，当且仅当 l 平分 angle APB .

证

在 AP 上取 B 点关于直线 l 的对称点 B ，于是

PA-PB=PA-PB=AB

只需证明当取直线上其他点 Q 时，总有

QA-QB<AB

即可完成证明

连接 QB ，由 QB=QB 得

QA-QB=QA-QB

而在 riangle AQB 中，由两边只差小于第三边立即可得

QA-QB<AB

Box

有了这个引理，那么接下来的分析顺理成章

见上图，PQ 是双曲线过 P 点的切线. 我们定义函数 f(X)=|XE-XF|-2a ，双曲线将平面分割为三个部分，我们命名焦点一侧的区域为「双曲线内部」，另一个连通区域为「外部」. 由双曲线定义蕴含以下事实：

  • 当 X 点位于双曲线内部时， f(X)>0 ；
  • 当 X 点位于双曲线上面时， f(X)=0 ；
  • 当 X 点位于双曲线外部时， f(X)<0 ；

而切线 PQ 上仅有一点 P 满足 f(P)=0 ，其余各点 Q 皆有 f(Q)<0 ，所以 P 是切线 l 上的最大值点，也就是使得

max_{Qin l}|QE-QF|=|PE-PF|

由上引理，必有 l 平分 angle EPF .

参考

  1. ^希尔伯特《直观几何》

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