怎麼證明圓錐曲線的光學特性,最好有不用到求導的方法?
由橢圓的定義——平面上,到定點 與 距離之和為定值 的點的軌跡,這個定義蘊含著一個很顯然的事實:
見上圖,過橢圓上一點 的切線,除 點外切線上任意一點 都在橢圓外(凸性),於是由上面的觀察得到:
所以 點是切線上到定點 與 距離之和最小點,故 點是反射點。
在理解橢圓光學性質的基礎上,我們先固定一個焦點 ,然後將另一個焦點 牽引到無窮遠處,離心率
即橢圓最終變為拋物線,而此時反射光 的極限位置平行於橢圓長軸。[1]
類似於橢圓的分析,不過我們要熟悉一個結論:
引理
如上圖 ,選取直線 上的動點 ,使得 最大,當且僅當 平分 .
證
在 上取 點關於直線 的對稱點 ,於是
只需證明當取直線上其他點 時,總有
即可完成證明
連接 ,由 得
而在 中,由兩邊只差小於第三邊立即可得
有了這個引理,那麼接下來的分析順理成章
見上圖, 是雙曲線過 點的切線. 我們定義函數 ,雙曲線將平面分割為三個部分,我們命名焦點一側的區域為「雙曲線內部」,另一個連通區域為「外部」. 由雙曲線定義蘊含以下事實:
而切線 上僅有一點 滿足 ,其餘各點 皆有 ,所以 是切線 上的最大值點,也就是使得
由上引理,必有 平分 .
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