二次曲线为什么叫圆锥曲线？

今天「五一」小长假，抽个空聊聊一个很多人高中时曾经问过的问题——为什么我们把椭圆、双曲线、抛物线这些二次方程构成的曲线叫做圆锥曲线？我高中的时候就曾经问过这个问题。这篇很短的文章会用一点点有关投影几何的知识阐释一下何为圆锥曲线，顺便给出一个极为精巧、优美的证明。

高中的时候都学过椭圆、双曲线、抛物线，并且知道这些曲线在平面直角坐标系中的方程都是二次方程。比如椭圆方程一般形式为 $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ ，双曲线方程一般形式为 $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$ 。当然，如果愿意，还可以对这两个方程进行各种平移、旋转的变换，得到形式更为一般些的二次方程。由于这些曲线都是二次方程，而且二次方程也必然对应著这些曲线，因此我们将这些曲线称为「二次曲线」。

可是大家也听说过，这些曲线还被称为「圆锥曲线」，这又是为什么呢？

可能有些朋友不知道，有一门几何学叫做「射影几何」，是研究把一个图形投影到某个平面后的一些性质的，特别是其中一些保持不变的性质。所谓的「投影」是这样一个过程，给定空间中的一个平面和这个平面外的一点O，对于空间中O以外的任意一个点P，连接OP的直线在不与平面平行的情况下，必然与交于一点P，这个过程叫做以O为投影中心，将点P投影到平面上的一点P。O被称为投影中心，平面被称为投影平面，P被称为P的投影点，直线OP被称为投影线。如果OP与平行，我们说P点被投影到了平面上的无穷远点。如果我们投影的不仅仅是一个点P，而是一条曲线C，那么也是同样的道理，将曲线C上的每一个点都投影到平面上，一般会得到一条在平面上的投影曲线C，我们也将C叫做C的投影曲线。

有了对射影几何中这个投影映射的基本了解，我们就可以说明为什么椭圆、双曲线等被称为圆锥曲线了。所谓的圆锥曲线，就是按照前面说的投影过程，将某一类特定的曲线——圆——投影到一个平面后得到的曲线。换句话说，圆锥曲线就是圆的投影曲线。由于一个圆的全部投影线构成了两个圆锥面，圆的投影曲线也是投影平面与这两个（或者一个）圆锥面的交线，因此将圆的投影曲线叫做「圆锥曲线」。下图示意了这个过程，以及不同的投影平面所得到的不同的投影曲线——分别是椭圆、抛物线和双曲线。