問

怎麼證明圓錐曲線的光學特性，最好有不用到求導的方法？

答

  • 橢圓

由橢圓的定義——平面上，到定點 E 與 F 距離之和為定值 2a 的點的軌跡，這個定義蘊含著一個很顯然的事實：

  • 當 P 在橢圓外時，有 PE+PF>2a ；
  • 當 P 在橢圓上時，有 PE+PF=2a；
  • 當 P 在橢圓內時，有 PE+PF<2a.

見上圖，過橢圓上一點 P 的切線，除 P 點外切線上任意一點 Q 都在橢圓外（凸性），於是由上面的觀察得到：

QE+QF>PE+PF=2a

所以 P 點是切線上到定點 E 與 F 距離之和最小點，故 P 點是反射點。

  • 拋物線

在理解橢圓光學性質的基礎上，我們先固定一個焦點 E ，然後將另一個焦點 F 牽引到無窮遠處，離心率

lim_{F ightarrow infty}{e}=1

即橢圓最終變為拋物線，而此時反射光 PF 的極限位置平行於橢圓長軸。[1]

  • 雙曲線

類似於橢圓的分析，不過我們要熟悉一個結論：

引理

如上圖 d(A,l)>d(B,l) ，選取直線 l 上的動點 P ，使得 PA-PB 最大，當且僅當 l 平分 angle APB .

證

在 AP 上取 B 點關於直線 l 的對稱點 B ，於是

PA-PB=PA-PB=AB

只需證明當取直線上其他點 Q 時，總有

QA-QB<AB

即可完成證明

連接 QB ，由 QB=QB 得

QA-QB=QA-QB

而在 riangle AQB 中，由兩邊只差小於第三邊立即可得

QA-QB<AB

Box

有了這個引理，那麼接下來的分析順理成章

見上圖，PQ 是雙曲線過 P 點的切線. 我們定義函數 f(X)=|XE-XF|-2a ，雙曲線將平面分割為三個部分，我們命名焦點一側的區域為「雙曲線內部」，另一個連通區域為「外部」. 由雙曲線定義蘊含以下事實：

  • 當 X 點位於雙曲線內部時， f(X)>0 ；
  • 當 X 點位於雙曲線上面時， f(X)=0 ；
  • 當 X 點位於雙曲線外部時， f(X)<0 ；

而切線 PQ 上僅有一點 P 滿足 f(P)=0 ，其餘各點 Q 皆有 f(Q)<0 ，所以 P 是切線 l 上的最大值點，也就是使得

max_{Qin l}|QE-QF|=|PE-PF|

由上引理，必有 l 平分 angle EPF .

參考

  1. ^希爾伯特《直觀幾何》

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