今天「五一」小長假，抽個空聊聊一個很多人高中時曾經問過的問題——為什麼我們把橢圓、雙曲線、拋物線這些二次方程構成的曲線叫做圓錐曲線？我高中的時候就曾經問過這個問題。這篇很短的文章會用一點點有關投影幾何的知識闡釋一下何為圓錐曲線，順便給出一個極為精巧、優美的證明。

高中的時候都學過橢圓、雙曲線、拋物線，並且知道這些曲線在平面直角坐標系中的方程都是二次方程。比如橢圓方程一般形式為 ，雙曲線方程一般形式為 。當然，如果願意，還可以對這兩個方程進行各種平移、旋轉的變換，得到形式更為一般些的二次方程。由於這些曲線都是二次方程，而且二次方程也必然對應著這些曲線，因此我們將這些曲線稱為「二次曲線」。

可是大家也聽說過，這些曲線還被稱為「圓錐曲線」，這又是為什麼呢？

可能有些朋友不知道，有一門幾何學叫做「射影幾何」，是研究把一個圖形投影到某個平面後的一些性質的，特別是其中一些保持不變的性質。所謂的「投影」是這樣一個過程，給定空間中的一個平面 和這個平面外的一點O，對於空間中O以外的任意一個點P，連接OP的直線在不與平面 平行的情況下，必然與 交於一點P，這個過程叫做以O為投影中心，將點P投影到平面 上的一點P。O被稱為投影中心，平面 被稱為投影平面，P被稱為P的投影點，直線OP被稱為投影線。如果OP與 平行，我們說P點被投影到了平面 上的無窮遠點。如果我們投影的不僅僅是一個點P，而是一條曲線C，那麼也是同樣的道理，將曲線C上的每一個點都投影到平面 上，一般會得到一條在平面 上的投影曲線C，我們也將C叫做C的投影曲線。

有了對射影幾何中這個投影映射的基本了解，我們就可以說明為什麼橢圓、雙曲線等被稱為圓錐曲線了。所謂的圓錐曲線，就是按照前面說的投影過程，將某一類特定的曲線——圓——投影到一個平面後得到的曲線。換句話說，圓錐曲線就是圓的投影曲線。由於一個圓的全部投影線構成了兩個圓錐面，圓的投影曲線也是投影平面 與這兩個（或者一個）圓錐面的交線，因此將圓的投影曲線叫做「圓錐曲線」。下圖示意了這個過程，以及不同的投影平面所得到的不同的投影曲線——分別是橢圓、拋物線和雙曲線。

需要指出的是，投影中心O與被投影的圓的圓心的連線未必正好與圓所在的平面垂直，因此投影線構成的圓錐不一定是正圓錐，但是前面的結論不變，哪怕是斜的橢圓錐面，得到的投影曲線也都是橢圓、圓、拋物線、雙曲線中的某一個。

下面以投影線構成的圓錐面是正圓錐為例，證明所得的投影曲線（投影平面與圓錐面的交線）必然是橢圓（特殊情況下是圓）、雙曲線或拋物線。避免繁瑣，我們只證明橢圓這一種情況，其它情況有興趣的朋友可以自行證明，過程很簡單。

高中時我們所學的橢圓的定義是到兩個定點的距離之和等於定長的點的軌跡。我們就用這個定義來證明所得到的投影曲線在投影平面只與一個圓錐面相交的情況下是橢圓。這個證明是1822年比利時數學家丹德林（Dandelin）給出的，極為精巧、優美、漂亮。

如下圖，

平面 與投影線構成的正圓錐面相交於藍色曲線。既然要證明這條藍色曲線上面的點到兩個定點的距離之和為定長，我們首先要找出這兩個定點在哪裡？其實就是要先確定橢圓的兩個焦點。

平面 與圓錐面相交，將圓錐分成了兩個部分，我們叫做「圓錐上部」和「圓錐下部」。在這兩個部分的內部，我們分別做球面 與 與圓錐面及平面 都相切。顯然球面 與 都是唯一的。 與 分別是這兩個球面與圓錐面相切所得到的兩個圓，點 與 分別是兩個球面與平面 的切點。

我們斷言，點 與 分別是橢圓的兩個焦點。

為了證明這一點，我們在藍色曲線上任取一點P，連接OP的投影線必然與圓 和 相交，設交點分別為 和 。由於 在平面 上，而 是球面 與平面 的切點，所以 必然是過P點與球面 相切的切線段；另， 是投影線OP上的一段線段，且 點是投影線OP與球面 相切的切點，所以 必然也是過P點與球面 相切的線段。從而， 。同理， 。於是， 。而 是兩個平行的圓 沿投影線的距離，是一個常數。從而，藍色投影曲線上任一點P到 和 的距離之和是一個定長，也就是說藍色投影曲線正好是一個橢圓。證畢。

這個證明需要一點空間想像能力，但是只需要一點點，並不是很難想像。一旦你看明白了，就會感受到丹德林給出的這個證明方法多麼巧妙！這個證明甚至能幫助你加深對圓錐曲線的理解。

最後，如果這個平面 還與上面的半個圓錐相交的話，交線就必然是雙曲線，證明過程類似。感興趣的朋友可以自己試著畫圖證明一下。

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