明眼人一看就知道我這題是抄襲哪一道題目...

例 設函數 f(x)=cos 2x-4acos x-1 ，其中 ain R ，記 |f(x)| 的最大值為 A 。

（1）求 f(x) ；

（2）求 A ；

（3）當 |a|geq 1 時，證明： |f(x)|<2A 。

解答 （1）注意到 f(x)=2cos ^2x-4acos x-2 ，令 t=cos xin [-1,1]

g(t)=f(x)=2t^2-4at-2 ， g(t)=4t-4a

故 f(x)=g(cos x)cdot (-sin x)=4 sin x(a-cos x) 。

（2）g(t)=f(x)=2t^2-4at-2 ，此為關於 t 的二次函數

其對稱軸 t_0=a ，判別式 Delta =16a^2+16>0

g(-1)=4a ， g(a)=-2a^2-2<0 ， g(1)=-4a

若 -1le ale 1 ，則 g(x) 的值域為 [-2a^2-2,4|a|]

A=max{|-2a^2-2|,4|a|}=max{2a^2+2,4|a|}

又容易證明 2a^2+2geq 4a ， 2a^2+2geq -4a ，故 A=2a^2+2 ；

若 a> 1 ，則 g(x) 的值域為 [-4a,4a] ， A=4a ；

若 a< -1 ，則 g(x) 的值域為 [4a,-4a] ， A=-4a 。

綜上，A=left{ egin{aligned} &-4a(a<-1)\ &2a^2+2(-1le ale 1)\&4a(ageq 1)end{aligned} ight. 。

（3）當 |a|geq 1 時， A=4|a| ， f(x)=4asin x-2sin 2x

|f(x)|=|4asin x-2sin 2x|le 4|asin x|+2|sin2x|

le 4|a|+2< 8|a|=2A ，故 |f(x)|<2A ，證畢。


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