伽馬函數雜談

如果說，最美的數學公式是歐拉公式 $e^{pi i}+1=0$ ，那麼最美的函數一定也還是歐拉的函數。

作為第一個接觸到的特殊函數，函數的長相看上去似乎有些奇怪：

$Gamma left( x ight) =int ^{+infty }_{0}t^{x-1}e^{-t}dt$

我們都知道函數是階乘的推廣，可是這怎麼看都和階乘沒有半毛錢關係......

不過只要通過簡單的兩步操作就可以發現它和階乘的關係：

$Gamma left( x+1 ight) =int ^{+infty }_{0}t^{x}e^{-t}dt$
$=int ^{infty }_{0}t^{x}dleft( -e^{-t} ight)$

$=xint ^{+infty }_{0}t^{x-1}e^{-t}dt$
$Gamma left( 1 ight) =int ^{+infty }_{0}e^{-t}dt=0!$

第一個式子和階乘的定義不謀而合有木有？

通過簡單的數學歸納法我們可以得到：

但是這個式子的含義遠遠超過了階乘！它把階乘推廣到了正實數！！！

當然函數也是可以推廣到複數域上的：

$Gammaleft( z ight) =int ^{+infty }_{0}t^{z-1}e^{-t}dtleft( Releft( z ight) >0<br /> ight)$
$Gamma left( z ight) =dfrac {1}{left( z ight) _{n}}int ^{+infty }_{0}e^{-t}t^{z+n-1}dt$ $Gamma left( z ight) =dfrac {1}{z}prod ^{infty }_{n=1}left{ left( 1+dfrac {z}{n} ight) ^{-1}left( 1+dfrac {1}{n} ight) ^{z} ight}$ $dfrac {1}{Gamma left( z ight) }=ze^{gamma }prod ^{infty }_{n=1}left{ left( 1+dfrac {z}{n} ight) e^{-dfrac {z}{n}} ight}$

以及著名的余元公式：

$Gamma left( 1+z ight) Gamma left( 1-z ight) =dfrac {pi }{sin pi z}$

說到伽瑪函數，當然不得不提它的孿生姊妹函數

$Bleft( x,y ight) =int ^{1}_{0}t^{x-1}left( 1-t ight) ^{y-1}dt$
顯然可以看出

作變換 $t=dfrac {s}{1+s}$ ，得到

$egin{aligned}Bleft( x,y ight) =int ^{+infty }_{0}dfrac {s^{x-1}}{left( 1+s ight) ^{x+y}}ds\ =int ^{+infty }_{0}dfrac {s^{y-1}}{left( 1+s ight) ^{x+y}}dsend{aligned}$

它和函數的關係是：

$Bleft( x,y ight) =dfrac {Gamma left( x ight) Gamma left( y ight) }{Gamma left( x+y ight) }$

函數與更加重要的函數也有一定的聯繫：

$zeta left( z ight) Gamma left( z ight) =int ^{+infty }_{0}dfrac {u^{z-1}}{e^{u}-1}du$ ，其中z不是整數

函數的漸進表達式：

String公式： $Gamma left( z ight) =sqrt {2pi }z^{z-dfrac {1}{2}}e^{-z}left[ 1+dfrac {z^{-1}}{12}+dfrac {z^{-2}}{288}+ldots ight]$
( )當 $in R^{+}$ 時， $Gamma left( x ight) =sqrt {2pi }{x^{x-dfrac {1}{2}}}e^{-x}left[ 1+rleft( x ight) ight] ,left| rleft( x ight) ight| leq e^{dfrac {1}{12x}}-1$ $n!approx sqrt {2pi n}n^{n}e^{-n}$