如何看待「無法證明即為假」的邏輯?
「無法證明其存在，所以這個現象是假的」
「無法證明即為假」是假的。
判斷方法主要是哥德爾不完備定理和語義分析。
下文包含1548字，890詞，48句，包含一定的專用術語，可能需要一定的數學能力和邏輯能力，重點部分被加粗，沒有看懂也可以獲得結論。
目錄
- 判斷邏輯
- 哥德爾不完備定理的證明簡介
- 哥德爾不完備定理的優點
- 語義分析
- 尾聲
判斷邏輯
1931年，哥德爾[1]發表了一篇學術論文《數學原理及其相關係統中的形式不可判定之命題》（üer formal unentscheidbare S?ze der Principia Mathematica und Verwandter Systeme）。在這篇經典論文中，哥德爾提出了「不完備性定理」（G?el』s Incompleteness Theorem）。
第一定理：任何兼容的形式系統，只要蘊含皮亞諾算術公理[2]，就可以在其中構造在體系中不能被證明的真命題，因此通過推演不能得到所有真命題（即體系是不完備的）。第二定理：任何邏輯自洽的形式系統，只要蘊含皮亞諾算術公理，它就不能用於證明它本身的兼容性。
不完備性定理降維翻譯過來就是，「真與可證是兩個概念。可證的一定是真的，但真的不一定可證。」，即「真的?可證」，其逆否形式為「不可證?假的」，即無法證明不一定為假，顯然與「無法證明即為假」是不兼容的，所以「無法證明即為假」是假的。
即哥德爾不完備定理證明了「真的一定可證」和「不可證一定為假」都為假。
哥德爾不完備定理的證明
哥德爾定理證明的主要問題在於：構造一個相當於「 是不可證明的」這樣的命題 ，其中肯定包含了對自身的引用，而這種引用容易陷入到無窮循環之中。而哥德爾發明了一種可以避開無窮循環的方法，後來也被艾倫·圖靈用於解決可判定性問題。
這部分先給想了解哥德爾定理的同學做入門，可先行理解哥德爾定理證明的邏輯思路，後續應用哥德爾編碼證明還是要讀一些書。
另：公理系統[3]；完備性[4]；一致性=自洽性=相容性（數學上的）[5]。
哥德爾不完備定理的優點
哥德爾巧妙地利用了命題的「真值為真」和「含義為真」的區別，從而構造出了含義為真而真值不可證的命題，同時也避免了陷入悖論的陷阱。形式邏輯系統的命題本身毫無意義。命題只有真值而沒有含義。公理命題的真值為真。其它命題的真值為真當且僅當該命題可以被證明，為假當且僅當該命題的非可以被證明。當形式邏輯系統被實際應用時，系統中的符號都被映射到實際概念上，從而有了語義。這種映射叫做一個模型。有了模型，命題就有了含義（語義）。
在大多數情況下，命題的「真值為真」和「含義為真」是一致的。例如，設A為一命題,則命題A??A的含義是「本命題A為假」，這時A的真值為真和含義為真是一致的，結果形成了否定循環而構成了悖論。而邏輯系統不能含有悖論，所以這樣的A應該是構造不出來的。哥德爾定理證明的巧妙之處就在於將悖論的「為假」改為了「為不可證」使得真值為真和含義為真成為不一致（含義為真是不可證，而真值為真或假都是可證），因而產生了自我否定又避免了循環的效果，也就避免了悖論。
理解到這一點，我們就明白了，哥德爾定理並不是說存在一個關於真值為真而又無法證明(事實上應該構造不出)的矛盾命題，而是存在含義為真但不可證（即真值為不可知）的命題。哥德爾定理不僅僅是說存在既不可證真又不可證偽的命題，這類命題還有很多，哥德爾定理的重要之處在於它還證明了"不可證真"命題的含義可能是真的。
1982年，科比和帕里斯證明，Goodstein定理[6]在自然數公理體系內是不可證明的。選擇公理[7]在集合論體系中也是既不可被證明也不可被證偽的。難道這些不可證明的命題都是錯誤的嗎？
哥德爾不完備定理的貢獻在於它破壞了希爾伯特希望構造數學公理化體系的願景，它證明了總有一些定理是無法依靠現有數學公理系統得到證明，數學公理系統需要得到不斷地進行擴充。舉例來說，在數論或實分析中，決不能求出一個完整的公理集。換言之，每次添加一個命題作為公理時，總會有另一個命題出現在能夠證明形式的。
某些數學問題（某猜想）無法得到證明，很可能是因為我們公理體系還沒有完善到可以證明它的高度，而且它很有可能是正確的，因為如果是錯誤的，你總能找到反例，但是在現有公理體系中顯然不能做到。這是一種很奇怪的證明方法，你證明了它是當前數學體系無法判定的，所以它是正確的。
另一方面——語義之理
沒有理解哥德爾定理的朋友先記著，我們再從哲學討論的第二重道理——語義之理上來解釋。
真：形容詞，與客觀事實相符合（跟「假」「偽」相對）。
假：不符合客觀事實的。證明：引證確實，根據確實的材料判明真實性。
我們可以看到證明指的是根據客觀事實來判斷這樣種手段，當無法通過客觀事實判斷時，我們稱無法證明，那麼符合「假」嗎？不符合！因為「假」要求「不符合客觀事實」，沒有客觀事實，怎麼能說「不符合」，所以「無法證明即為假」是不符合語義之理的。
尾聲
我同樣贊同Listening舉的例子，這個例子也是另一種形式的「說謊者悖論」[8]。這個例子明確指出了這個命題的缺點，對於不可操作（不可證）的問題草率給出「假」的判斷顯然是錯誤的。
最後以哥德爾的名言作結
有些事實被認知為真，但不是必然可證的。 ——庫爾特·哥德爾
修改記錄：
5月4日下午：訂正了之前出現的語法錯誤，修改了排版，擴充了回答內容，加入了對哥德爾定理的補充，整理了段落內容，給出了可以擴展了解的百科鏈接。
參考
- ^庫爾特·哥德爾 https://baike.baidu.com/item/庫爾特·哥德爾?fromtitle=哥德爾fromid=152476
- ^皮亞諾公理 https://baike.baidu.com/item/皮亞諾公理/6218666
- ^公理系統 https://baike.baidu.com/item/公理系統
- ^完備性 https://baike.baidu.com/item/完備性
- ^相容性（數學上的） https://baike.baidu.com/item/%E7%9B%B8%E5%AE%B9%E6%80%A7#5_3
- ^古德斯坦定理 https://baike.baidu.com/item/古德斯坦定理/3349520
- ^選擇公理 https://baike.baidu.com/item/選擇公理
- ^說謊者悖論 https://baike.baidu.com/item/說謊者悖論/1949567?fr=aladdin
說句題外話：這個不是「無法證明即為假」么？誰提出觀點誰舉證。
無法證明就是無法證明，怎麼就是假了？假，也是被證明的結論。
若依這邏輯，「無法證明是假的，就不是假的，就是真的」，也是等價的。
先說結論: 「無法證明即為假」 的說法是不對的。
舉個最簡單的例子: 你無法證明你沒偷過東西（你沒有視頻資料之類的證據）→所以，「你說你沒偷過東西」是假的→因此你偷過東西。
顯然，這是錯的。在邏輯上，證有不證無，可以證明的則是真的，但無法證明的不能說是假的，可真可假，不可妄下斷言。
下面順帶說一下證明的限度——只是從康德哲學的角度說。證明的手段是使用知識和邏輯（歸納和演繹），知識是有邊界的，邏輯也是有限度的。
康德把知識分成3個階段: 感性、知性和理性——這三個概念可能和平常理解的不太一樣。
感性是指感性直觀，知性是指知性範疇，兩者統稱為先天形式（或先驗形式），理性的三要素是: 靈魂、世界和上帝。
先要說明的是，人不是一張白紙，而是先天自帶形式（先驗的），現象世界中的感性材料與你腦中的形式（感性直觀和執行範疇）結合，通過自我意識形成知識。因此，人對於物的認識不是認識「物自身」，而是通過自身形式「改造」過的。知識的生成過程如下:
（1）通過純直觀的形式＋感性材料→感性的知識
（2）知性範疇＋感性雜多→知性的知識
在生成知識的過程中，要有知性範疇進行先驗演繹才能生成知識，康德稱之為「自我意識」（康德也稱之為「我」、「統覺」或「攝覺」），做個不恰當的比喻: 「自我意識」相當於生成知識的「催化劑」。
這裡的統覺不是心理學意義上的統覺，而是先驗的，不可以作為被認識的對象，是對象的前提和條件。
在感性和知性的領域人類可以獲得知識，但是人類無法認識理性的領域。因為當我們要去認識理性的時候，我們使用的是知性範疇，當我們使用知性範疇去認識理性的時候，就會出現二律背反（運用執行範疇去認識理性，可以得出完全相反但是都可以得到完美證明的結論，稱「二律背反」）
因此理性的領域是不可知的，因為無法獲得對於理性的統一認識——也就是靈魂、世界和上帝是不可知的，既然它是不可知的，也就沒有辦法得到證明。理性的領域已經超出了人類的知識邊界，為信仰留下了地盤。
我為人類的知識劃定界限，以便為信仰留出地盤。
——康德
信仰是無法證明的，也是不需要證明的。在長達1000多年的中世紀，教父哲學和經院哲學的哲學家都嘗試用理性（不是康德意義的理性，是古希臘意義上的理性）去證明上帝是存在的，但是都以失敗告終。
上帝存在還是不存在是不可知的，是人類的知識所不能夠達到的。人類既不能夠證明他是存在的，也沒有辦法證明他是不存在的。因此，在信仰的緯度上證明不出來，不能夠說它是假的。
說了那麼多，總結起來其實就是一句話: 如果不知道，不一定就是假的。
哥德巴赫猜想，能證明嗎，真的假的？
這個問題其實出在「無法證明」上，準確描述不應該是「無法證明」而是「暫時沒有能力證明」。
公理被認為是對的，但是你永遠無法證明，只能找反例證偽。
現在很多數學理論極難證明原因可能有兩個，一個是沒發現新的工具，工具是指類似方程式，坐標系，微積分這種。另一個就是這個理論很可能是一條公理，你沒法證明。
1無法證明即為假
2無法證明即為真
3可以證明即為假
4可以證明即為真
3明顯是邏輯謬誤，證明起碼不是假。但可以證明就是真嗎？演繹邏輯還是歸納邏輯？如果是歸納邏輯，即便證明也不能說真。2無法證明可以為真，也可以為假。1 2屬於大部分主觀層面問題，不可證。舉個例子，神的存在與否，不可證。信者不要強迫任何人都信，反之亦然。
如要證偽，就要找到至少一個反例，即：無法證明但為真。
推薦閱讀：
