相对论中垂直两个速度怎么叠加？速度是矢量，为何接近光速就不能矢量叠加，矢量叠加是不是要满足一定条件？

在相对论中速度不是矢量，4-速度才是!
在相对论中速度不是矢量，4-速度才是!
在相对论中速度不是矢量，4-速度才是!
所以我一直奉劝不懂闵可夫斯基几何，不要学相对论，否则三天之内搞疯你，脑浆都给你糊了。

什么是矢量，请翻开你的线性代数课本里面线性空间一章，里面说得很清楚，在一个集合上定义两种运算，一种叫加法，一种叫数乘，它们满足8条运算规律，这个集合就叫线性空间，而线性空间中的元素就叫矢量（向量）。
这才是矢量最最最根本的定义，其他任何说法不是用特殊代替一般，就是胡说八道。
既然，相对论中的速度不满足叠加性质，也就是说，没法定义加法，它就不是个矢量。
而4-速度是粒子在时空中的轨迹曲线上指向未来的单位切向量，这个定义就已经宣告了它是个矢量，而4-速度和3-速度的关系是：

你看这个结构，3-速度怎么都不该是个矢量对吧。

我们直接在广义相对论框架下给出任意速度叠加的公式吧！以下我们采用几何单位制,光速等于1，，并采用爱因斯坦求和约定。
首先明确这个问题在任意Lorentz时空（也就是广义相对论的研究对象）下如何描述。按照题目中所讨论的，所谓的「速度叠加」公式，一般就是用于描述，物体的运动速度如何随著参考系的变换而变换。我们最熟悉的速度叠加公式是，这个公式中是运动参考系相对于静止参考系的速度，是物体相对于运动参考系的速度。然后所求的就是物体相对于静止参考系的速度。搞清楚了这一点，如何描述最一般的速度变换也就已经清楚了。即，任意给定两个参考系和，已知某个物体相对于的速度，以及和的关系，求物体在中的速度。
为了进行明确地计算，我们还需要澄清几点。首先，在广义相对论，一个物理上的参考系都是局域的。也就是所物理观测只能发生在「当时当地」。即，在点的观测者只能测量点的物理量，不能测量点的物理量。在每一个点的观测者都可以在这个点建立4个坐标轴，测量到的物理量可以以这4个坐标轴为基分解成分量。4个坐标轴必须是正交归一的，有一个轴是类时的，也就是时间轴；另外3个轴是类空的，也就是空间轴。所以我们计算速度叠加的时候，也是固定一个时空点进行的。然后将这个过程对每一个点都进行一次。得到整个时空上的规律。设参考系在时空点的4个轴记为：，每一个都是一个正交归一的矢量，并且按照约定，是类时矢量，这个矢量就是这一点观测者的世界线的切矢量。参考系的4个轴记为，同理就是B参考系对应的观测者的世界线的切矢量。两个参考系之间的关系由变换表示：

由于和都是正交归一的矢量，所以必须是洛伦兹变换（这来源于洛伦兹变换的严格定义）。为了方便，以下的公式都省略 . 然后，考虑参考系有有一个运动的物体，这个物体的世界线经过点，所以这个物体的世界线的切矢量 (不要问为什么把切矢量记为这种形式，就当成一个符号吧)，这个切矢量也就是4速度，将其在点的4个坐标轴下分解为：

那么这个物体在B参考系的3速度定义是 ,3速度的大小是：

很明显，这个物体的世界线的切矢量也可以在参考系下进行分解，

由于

所以

从而根据基底的线性独立性，其系数是相等的。即：

这个就是4速度的参考系变换公式，也可以称为4速度的叠加。参考系B在参考系A中的4速度其实就是，所以在A参考系三个空间轴上的分量除以时间轴上的分量，也就是

而最终叠加出来的物体在参考系中的3速度就是：

因此3速度的叠加就包含在之中，可以看出，一般性的速度的叠加不仅仅依赖于参考系的速度，还依赖于的其他分量。
接下来，为了形象，我们举几个具体的例子，应用一般的速度叠加公式计算特殊情况下的速度叠加。比如第一种情况，参考系和参考系的x轴重合，即 ,参考系的3速度方向沿著参考系的x轴，即的方向。然后物体的3速度也沿著的方向。此时和之间的洛伦兹变换就是x轴上的Boost变换，也就是大家最熟悉的洛伦兹变换的形式：

其中 . 物体在参考系B中4速度是，

其中
那么合成的4速度就是

可以发现，叠加的3速度就是 ,也就是我们熟知的速度叠加公式。
接下来我们考虑题主给出的，两个速度垂直的情况，这种情况就对应于：参考系和参考系的x轴重合，即 ,参考系的3速度方向沿著参考系的x轴，即的方向。然后物体在参考系中的3速度不再沿著x轴的方向，而是沿著z轴的方向，也就是的方向。从而两个速度方向垂直。所以速度叠加就变为了：

所以，叠加出来的3速度就是 , 3速度的大小是

把光速补充上，就是

可见的地位完全对等，并且容易证明这个函数对二者在的区间内都是单调递增的，最大值在处取得，从而最大速度 , 两个速度的叠加同样不能超越光速。
其他情况同样可以通过上面的一般公式推导出来，无论叠加的两个速度是什么样的夹角，只需确定出变换矩阵的具体形式即可。

设闵氏时空中的两个惯性系：静系，动系
动系沿静系轴正向做匀速直线运动，速度为
质点沿静系轴做匀速直线运动，速度为
动系中质点的速度
由相对论速度叠加公式得^[1]，，
其中，于是有
可以用黑塞矩阵判断这个和速度没法超光速，见

是否可以这样达到超光速？?
www.zhihu.com

参考

^狭义相对论速度叠加公式的几种证法 https://zhuanlan.zhihu.com/p/98964291

首先我们先看看，宏观低速下是怎么叠加速度的。
例如，运动员A在跑道上，以10km/h的速度向东跑，运动员B则是在跑道另一头以同样的速度向西跑。此时，我们计运动员A与运动员B的相对速度就是叠加速度20km/h。
在这个案例中，我们用的是经典物理的时空观，在这个认知系统中，我们默认时间和空间单位是恒定不变的。小学数学中学到的，速度*时间=路程。由此得算式：v=s/t。由于空间和时间一直是我们用于丈量世界的标尺，它们是最高基准，所以速度只能跟著空间和时间给出来的数值进行计算，呈现出「叠加」的现象。

事实上，这和是否为「矢量」无关。每一个矢量都可以拆分为复数个分矢量，相反角度的分矢量互相抵消，剩下的就是我们看到的合矢量。最终计算这个矢量的大小，用到的还是标量计算的方式。

接著，我们看微观高速下世界。
这个观测视角与我们经典物理完全不同。我们通过大量的实验证明了光速在不同速度的参考系中始终恒定不变。由此，我们选择把「速度」作为标尺。严格来说，我们是把「光速」作为标尺！光速实在太过稳定了，无论在任何时间或者是空间里，它都不可能被改变。所以，原来经典物理的那个演算法要做一些调整，用来适应现在这个新的标尺。调整的方法是下面这样的——

呃，看不懂？
这个科普视频可以让你懂?
www.bilibili.com
这样一调整，经典物理世界就和高速世界相吻合了。
这种调整方式就是常说的「洛伦兹变换」。它用数学的方式，确保了所有我们已知甚至未知的规律都不会因为标尺的修改而被改变，仍然是严格遵守最根本的那套逻辑。
不过呢，这个系统中，不仅速度单位恒定不变，甚至连速度的值都是恒定不变的。因为我们是把「光速」作为标尺！
把光速作为标尺是一项非常长足的进步。我们在经典物理中，空间单位不变，但是空间却是无穷大的，也就是说，这里就有了一个无法被限制的变数，让我们根本无法在宇宙中找到自己的位置。而当我们以光速作为标尺，我们就可以一直把我们自己作为参考系的中心，时间和空间都依照原定的数学逻辑去表现。我们从这个「相对」的参照系系中，把许多未知变成了已知，这更有利于我们去探索广袤无垠的宇宙，以及它的法则。

所以呢。在相对时空观中，速度并不能叠加。因为光速是唯一的基准，或者说，所有参与讨论的目标，它们都被赋予了光速。但因为速度公式v=s/t仍然是正确的，所以在经典物理中的不同速度，切换到相对时空观中，就改用不同的时间和空间来体现差异。也就是著名的「尺缩钟慢」效应。
当你以光速运动时，你会觉得再怎么遥远的东西，都近在眼前，再如何漫长的时间，都是眨眼之间。

上学要迟到了。距离学校还有1km，需要5min。
当你用「高速」的方式去学校，那你会觉得学校离你很近，耗时也特别短。就好像你用速度，把整个时空都给压缩了。压缩时空的感觉，其实就像是穿秋衣的袖子那样，袖子本来有近一米长，你把袖子卷起来，手掌一穿就过去了。

而你的速度越慢，你对时空的感受就越接近于现在现实中的状态。

相对时空观中，光速是唯一的标尺，所以速度不是矢量，也不可以叠加。
而在经典物理中，速度并没有被赋予这样高贵的定义，所以仍然是可以叠加的。按照速度公式，s越大，t越小，速度就越大。

怎么叠加，查书。
接近光速时，速度不是矢量。任何三维矢量都不是矢量了。这时能够谈论的矢量是四维矢量。

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