求幂级数的和函数时，求导再积分或积分再求导，不是相当于没变化吗，为什么这样能算出幂级数的和函数?
救救我的高数理解，谢谢
举个最简单的类比：
计算 ，可以计算为
先加后减，不是相当于没变化吗，为什么能简化计算呢？
可能类比不是非常恰当，但这里面的大致思想是差不多的，因为你直接算很难算。
举个实际的例子：
这是无穷等比级数的求和公式，高中就学过。
对等式两端进行不定积分，根据 确定任意常数，得到
这是自然对数的泰勒展开式。
再积一次分，左边使用分部积分法：
右边直接积分得到
根据 确定积分常数
，有
现在假设你不知道上述过程，问你 的和函数是什么，你怎么办？
你肯定猜不出来什么函数的泰勒展开式正好是这个玩意嘛！你只能对它进行一些力所能及的变化，比如说求导与积分。容易发现，上式求导两次之后得到 ，也就是等比级数求和，这个和函数你应该知道是
，再求两次积分就得到了答案。
虽然先求导再积分这种过程，值没有变，但是形式变了，我们的目的达到了。这里体现了数学上的化归思想，把不熟悉的情况往熟悉的情况上靠近，就容易解决得多了！
实际上，有很多收敛的幂级数，和函数几乎求不出来，比如说 ，其中
是第
个素数，
是正整数。可以求出和函数的幂级数，真的是沧海一粟啊！
对于一般的幂级数，往往不是初等函数或是初等函数的复合，所以不能以封闭的形式写出来，也就是说这题没法做。
否则，我们做这类题的目的，就是将其转化为我们熟悉的幂级数形式，而我们熟知的幂级数就是各种初等函数的泰勒展开（转化为欧拉积分等等也可以）。
通过求导或是积分，可以给级数通项或乘或除以求和指标，以此起到转化的作用。
所谓求幂级数的和函数，就是对写成一串相加的幂级数，让它等于一个初等函数。但是，利用我们已知的五个幂级数等于初等函数（即e^x,sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)^a）的等式，无法经过简单的初等数运算（+-×，换元，加几项，减几项）完成这个目的。因此，我们设幂级数等于所求，然后对等式两边求导（或求定积分由0到x），这样就得到所求的导数等于一个幂级数的导数，而幂级数的导数是一个新的幂级数，而这个新的幂级数恰恰就可以利用我们刚才说的五个展开式（经过简单的初等运算）写成一个初等函数了。这样我们就得到：所求的导数等于一个初等函数，最后两边积分就得到：所求等于一个初等函数的积分还是等于一个初等函数了。先积分后求导同理。
因为其中有一步「把常见级数收敛为有限函数」，这一步之前都是对级数进行操作，这一步之后则是对这个「有限函数」进行操作。
这里的和函数是指初等或基本初等函数。当幂级数不是标准的初等函数展开式时，通常利用幂级数在收敛区间上的逐项可积或逐项可导性质，将其整理成标准的形式。给出和函数以后，再利用积分或导数还原。
我思考了下maybe是我们平时没有背那么多泰勒级数展开式（狗头）
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