公理是如何確認的？
我們學習一門學科往往給出公理然後進行各種邏輯推導。那麼公理究竟是如何確認的？確認公理的過程是怎樣的？為什麼把這些命題當成公理而不是其他命題？
我覺得公理是歸納出來的。
我的意思是說，理論家在把一系列相關的（數學）定理、（物理）定律梳理總結為一套體系的時候，就會把幾條命題放在邏輯推導的起點，於是這幾條命題就成為這套理論的（數學）公理、（物理）公設。如果理論家所建立的理論體系比較成功，那麼所規定的公理、公設就為大家所接受。
公理不需要被確認。
我們學習一門學科往往給出公理這句話是不嚴謹的。公理是數學概念。科學的概念是定律。
對沒有系統學習過高等數學的人來說，公理是符合直覺的，被廣泛接受為真的命題。這種思想是樸素的數學思想。事實上，公理不需要符合直覺，也不需要被廣泛接受為真。公理是在公理化系統下的基本假設，公理化是一種方法論，你可以有其他的方法論，在你的方法論里完全可以不需要公理。
數學最開始是作為解釋世界的一種科學存在的，比如數字 1，2，3等，我們是為了解釋一個蘋果，兩個香蕉這種數量概念而存在的。但數學不斷發展之後，解釋世界已經不在是數學的目的，數學只追求解釋自己。解釋世界會局限於我們觀察世界的技術手段，而數學的發展只取決於人的思維能力。在畢達哥拉斯時代，人們的技術手段可以觀察到一個蘋果，兩個蘋果，半個蘋果，1/7個蘋果，但永遠不知道邊長為一的正方形的對角線長度是多少。即使是現在，大部分人也無法理解為什麼會有一個數的平方是-1。但這並不妨礙數學上無理數和虛數的出現。到了這一步時，數學已經不需要有客觀存在的現象與之對應了。
公理化方法不是一開始就有的，我們總喜歡討論的歐式幾何公理體系只是兩千多年前的樸素思想。人們喜歡討論將平行線公理替換掉之後形成的各種非歐幾何，喜歡將黎曼幾何與廣義相對論結合起來侃侃而談。但是請注意並不是廣義相對論證明了黎曼幾何的正確性。黎曼幾何自身已經是自洽的，廣義相對論只是利用黎曼幾何去描述了愛因斯坦眼中的物理世界。也許有一天物理學家們證明了廣義相對論是錯誤的，但作為工具的黎曼幾何的公理體系，是沒有錯誤的。
公理化方法的發展方向，就是將數學和物理世界剝離開來。我之前提到的自然數的概念，現在有皮亞諾公理體系，我們定義1234時不在需要蘋果香蕉梨這種實物。實數公理系統，也不需要靠邊長為一正方形的對角線來定義無理數。
回到問題上來，公理是如何確認的？公理不需要確認，你只管提出就行了，唯一值得在意的是你提出的公理體系是否有趣。
可能題主認為的公理是「顯然無需證明的結論」，但實際上不一定。「顯然」只是公理追求的目標，但並不是硬性規定。
公理真正的要求是任何公理都不能被其它公理證明或推翻。滿足這一點足矣。
至於一個已經被證明是無法被已有公理證明或推翻的結論要不要拿來做新的公理，如果大家認為它是「顯然的」，就可以做新的公理。你也可以把它的反面拿來做公理，也許得不到有價值的結論，但至少還是個合法的公理系統。可能大家不用罷了。
有的公理要不要承認是有爭議的，比如選擇公理。於是很多定理都需要指出它是不是依賴選擇公理。
我們約定的，共同探討的基礎和前提。
[gōng lǐ]
公理
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公理是一個漢語辭彙，讀音為gōng lǐ，是指依據人類理性的不證自明的基本事實，經過人類長期反覆實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題。（公理究竟是如何確認的？）
在數學中，公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下——邏輯公理和非邏輯公理。在這兩種意義之下，公理都是用來推導其他命題的起點。（為什麼把這些命題當成公理而不是其他命題？公理已經是不需證明的東西，不再成為命題，只作為命題的起點）和定理不同，一個公理（除非有冗餘的）不能被其他公理推導出來，否則它就不是起點本身，而是能夠從起點得出的某種結果—可以乾脆被歸為定理了。至於公理的過程，無非反覆思考實踐驗證。
而公理何以不可動搖，參考康德純粹理性批判。
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