请问为什么物理里很多分析都用哈密顿量来分析？物理思想是什么？
有什么物理意义，谢谢。
根据自己粗浅的理解来语无伦次一波，希望能起到抛砖引玉的效果：这是因为我们关心系统随时间的演化过程。
经典力学中，我们有哈密顿正则方程：
其中p,q都是是系统的广义坐标、广义动量。可见只要知道哈密顿量，将其塞到上面的式子里，我们就可以得到系统的运动微分方程。在量子体系中也是如此。事实上，它可以轻易地过渡到量子力学中去，只要按如下规则将经典量替换成算符：
比如经典的方程经替换后变成海森堡方程：
通过求解海森堡方程就可以得到海森堡绘景算符随时间的演化过程，这也要求我们知道系统的哈密顿量。从决定波函数演化的薛定谔方程也可以看出，哈密顿量与系统的时间演化息息相关：
总的来说，我们关心系统随时间的演化，所以我们往往要用哈密顿量来分析。这是由我们将时空「切片」的方式决定的。我们将时空按照」等时面「一片一片地切开，每一个「切片」上都有一个相联系的状态空间（经典力学是相空间，量子力学是希尔伯特空间），而哈密顿量生成了从一个切片变到另一个」切片「的操作（如时间演化算符 ）
当然也可以有其它的切片方式。在共形场论中，经常会用到「径向量子化」方案，这种方案就是将时空按照到原点的距离不同来进行切片的，这时候dilatation operator就扮演著等时量子化中哈密顿量的角色。
还有在定态问题中也会用哈密顿量，这大概是此时它是守恒量，所以能量本征值可以充当好量子数，从而可以用来标记希尔伯特空间基底吧。
我从分子动力学的角度写一点感受。
首先对于一个粒子数守恒的质点系统，我们有Liouville定理：
即
花括弧代表经典泊松括弧。
由此，我们可以引入经典Liouville算符（这里加了一个 只是为了容易跟量子力学对应，没有特别的意思！）：
由此出发，我们可以讨论系统随时间的演化：
即已知系统初态，有了哈密顿量，就可以确定未来任意时刻的系统。算符
称作经典传播子。
而分子动力学模拟的演算法需要满足时间反演对称性、保辛性、长时间能量守恒等性质，只有这个方程中，经典传播子对于微扰是稳定的，模拟的结果才具有上述性质。所以从经典传播子出发，开发分子动力学演算法，才是正确道路，这就必须用哈密顿量。顺带一提，由此可以证明Velocity Verlet演算法具有保辛性，这就是目前常见的分子动力学模拟工作大都用Velocity Verlet演算法的原因。
量子力学的版本只需添上普朗克常数即可，可应用在化学反应问题中。谈到这里，我又回忆起了十几年前的那个午后（BGM switched on），慵懒的阳光洒入化学楼某一间小教室。北师大来的邵久书老师眼里含著神采，给我们讲解量子Liouville方程。我对此十分陌生，特别是那往左边作用的算符。课后向他提了一个弱智问题，他并没有不耐烦，而是很高兴的告诉我，可以在M. O. Scully的《量子光学》里找到答案。于是我就向我的酒肉朋友，借来一辆没有闸的自行车，一路骑车到湖南路军人俱乐部，买下了这本书。虽然后来也没有再看。理论化学科研人员的日常，就是这么平平无奇，且枯燥。
参考文献
- A. Pérez, M. E. Tuckerman, and M. H. Müser, J. Chem. Phys. 130, 184105 (2009).
- M. E. Tuckerman, Statistical Mechanics, Oxford University Press (2010)
- Roman Korol, N. Bou-Rabee, Tom Miller III, J. Chem. Phys.151, 124103 (2019)
在相空间中对理论进行分析的方法称为「哈密顿分析」，尤其适用于研究约束系统中的自由度问题。
因为在哈密顿系统中天然地要求将时空分解为时间和空间（当然哈密顿分析也可以协变地做，比如De Donder–Weyl theory），所以对于分析系统随时间的演化存在天然的优势；
另一方面由于我们都更习惯于 用 (cai) 拉氏量去描写一个系统，所以在做勒让德变换得到哈密顿量的时候，约束会被自然地暴露出来，换句话说，就是从位形空间过渡到相空间之后，约束会明显地出现；
绝大部分物理系统都是约束系统，例如U(1)规范理论和广义相对论，所以用哈密顿分析处理起来会更加地方便。
物理学基本上在做两件事，一是找到描述体系的方法。另一个是描述体系如何变化。哈密顿量是时间演化的生成元，也就是知道了哈密顿量就知道系统如何演化，所以哈密顿量非常重要。而哈密顿量的本征值代表能量，所以能谱分析也是物理实验中非常重要的方法。
科学是矢量的！标量求导不出矢量结果，只能求导矢量过程。
大自然在干任何事情时都要算成本，它总是找某种成本最小的行为方式。这一思想用在物理中就是哈密顿原理，其衡量的成本就作用量，它是一个叫拉格朗日的函数的路径积分，即一个泛函，求其极值，即变分得拉氏方程，但是该方程是二阶的，哈密顿引入一个变换，得到一个新一阶方程组，其中的核心即哈密顿量！也即，所有物理问题的成本计算依赖于它！
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