如何证明e^x、sin(x)、cos(x)与其对应的泰勒展开式完全相等？
如何证明e^x、sin(x)、cos(x)跟它们对应的泰勒展开式一定相等？
快睡觉了只做一个
既然 @Bazinga 已经给出了对 的证明，我就不再写了，不过用
的极限形式推级数形式不是数分教材上就给出的经典操作吗QWQ
偷个懒，用欧拉公式推一下剩余的两个。由 易得
直接代入 然后展开算一算就出来了（觉得不严谨可以数学归纳）。
当然如果你的欧拉公式证明方法是直接用泰勒展开凑出来，那就成了循环论证了。这里给一种不用级数的证明。[1]
其中 .
由上述极坐标形式可以推出 ，
, 所以
.（因为懒，我把推导过程贴在下面了）这样就有了我们的欧拉公式：
最近知乎数学公式编辑器对行间和多行公式的显示老是抽风，如果看的时候出现bug，也许可以刷新几次？
参考
- ^张筑生，数学分析新讲
由柯西积分公式可知：
对于任意整函数f(x)，任意正实数R，任意 ，有：
其中由于 ，我们可以进行这样的展开：
代入回原式，得：
根据柯西积分公式 ，有：
由于 均为复平面上的整函数，我们可以分别将这些函数代入至以上等式说明它们与对应的展开式完全相等
这些幂级数展开式都是泰勒公式在x＝0处展开的结果。
泰勒的证明应该很易得吧....有兴趣去搜一搜就好了。
泰勒展开思想就是用一个多项式函数拟合这些特殊函数，不仅如此，还要求这些特殊函数的导数也要和这个多项式函数的导数相拟合，还有二阶导数，三阶导数，以此类推
这些特殊函数本身就有无穷多阶导数，而有限项的多项式函数的一定会出现第n阶导数以后都变成0，所以这个多项式函数必须也要是无限项数才行
然后就是用待定系数法求出了这些项数的系数存在规律，于是就得到结果了
证明的思想就是：
是在
处我们需要近似的函数
是以
为中心的
的N次泰勒多项式
是对于
，
的最大值
则，
推荐阅读：
