10、數學宇宙
「道可道，非常道，名可名，非常名」
–老子
（註：本章修改自本人另外一個專欄文章賈明子：現實的無心之心，其中增加了一些直觀的表述，可參考原文。）
數學柏拉圖主義中，還有一派觀點，這種觀點恪守了「數學的抽象實在」這種核心思想，但是，這裡的數學抽象實在，並不見得是每一個數學對象，諸如集合、自然數、向量、函數等等，而是數學是一種抽象的結構（structure）或曰圖樣（pattern）。自然界具體事物之間的相互關係，其實也是這樣的一種結構 – 一種具體的結構，因而它又被稱作「結構主義」。而自然規律則闡明瞭這些具體結構的普遍性，而這種普遍性的背後，則是抽象的數學結構。這樣一來，對「人們如何認識抽象實在」這種「認識論問題」也就迎刃而解了，它就是編碼在具體結構背後的、普遍的、不變的抽象結構。進而這種觀點還可以更進一步，認為我們整個物理世界也不過是抽象的數學實在的一種表象而已。這是一種結合了自然主義主張的觀點，然而最終卻走到了數學柏拉圖主義的極致：不但抽象的數學實在是真實存在的，而且只有數學實在纔是真實存在的。
我們不妨來回憶一下前面第二章，
賈明子：2、存在
這裡面我們討論過一個問題。對於一個具體事物，例如說蘋果，我感知到的關於蘋果的印象，和你感知到的關於蘋果的印象是否一致呢？這個問題我們無從得知，因為我對蘋果的印象專屬於我自己，而你對蘋果的印象專屬於你自己。我無法進入到你對腦袋裡體驗你的印象，因而我也就不知道我所感知的「紅色」和你所感知到的「紅色」是否一致、我所感知的「圓的」和你所感知的「圓的」是否一致。那麼，既然我們感知的蘋果可能完全不同，為何我們還會認為我們看到的是同一個「客觀實在」呢？
因為在我們的溝通中，你可以用某種方式把你的印象表達出來，例如畫圖。作為一個準確的表達，你的表達方式中所負載的信息，必然是與你對蘋果的印象一一對應的。而我通過你的表達，顯然可以判斷你的表達和我的印象一一對應，因而我就可以知道，我們兩個人的印象是一一對應的 – 它們可能完全不一樣（甚至說「一樣」這種描述在這裡毫無意義！），例如我無法知道你和我是否紅綠顛倒，但是我所能確知的，就是這種一一對應關係。同樣，媽媽的印象也會分別與我們兩個人的印象一一對應。那麼自熱而然地，我們就認為我們這些相互一一對應的印象，必然會對應於一個確定的、抽象的東西：客觀實體。這個實體的某種性質，分別對應著我們感知中的顏色，我們把它叫做「紅色」，它的另一種性質，對應著我們感知中的形狀，我們把它叫做「圓的」，等等。那麼這個客觀實體就是這些性質按照某種圖樣組合起來的一種結構，它表達在我們的感知中為具體的印象，但是它本身是抽象的。
我們不妨另外舉一個一個簡單的例子。
比如說，我們知道一個信息，旺財正坐在花園裡。我們可以用各種不同的語言來表達它，例如中文：
「旺財正在花園裡。」
英文：
「Wangcai is in the garden。」
這兩句話傳達給我們的，是完全相同的信息，雖然它們的具體形式是不同的。只要你懂英語和中文，你根本不會認為它們說的是兩件不同的事情。當你看到這兩句話的任何一句，你都可以在腦海里浮現出同一幅畫面，類似這樣的：
這就是一幅很具體的圖，圖中就顯示了旺財和花園之間的關係 – 一個具體的圖樣 （pattern）。而描述這個圖樣的中文和英文，本身不是具體的一幅圖，但是卻生動地傳達出了這幅圖的結構。這是因為，中文、英文、圖之間存在著一一對應的關係：
「旺財」?「Wangcai」? 圖中的狗，
「花園」?「garden」? 圖中的環境，
「在……裏「」?「in「」? 圖中的位置關係。
同樣地，一個從來沒有見過旺財的你的好友，例如小欣，聽到這種描述後，也會立刻知道它們在描述這樣的事實，但是她的腦海里就不會出現這樣的畫面，因為她不知道旺財長什麼樣子。她只是單純地知道旺財坐在花園裡這個事實：一個抽象的旺財和抽象的花園。雖則抽象，但是旺財是一隻狗、狗坐著是一種什麼樣的姿勢、旺財和花園之間的關係如何，小欣肯定是知道的。「旺財」、 「花園」、「在……裏」這些辭彙就描述了這樣一種關於旺財和花園的抽象的關係網，這種網就是一種關係「圖樣」。小欣之所以知道這種圖樣的結構，是因為中英文的結構和這種圖樣的結構有著一一對應關係。如果我們用不同的顏色區分名詞、動詞、介詞，我們可以把這種一一對應關係表示如下：
這裡，中文和英文是完全不同的語言，但是它們所對應的卻是完全相同的事實。同樣地，從這兩句話中，你和小欣感知的（perception）的具體信息可能有所不同，這和你們以前的具體經驗有關，你知道旺財的樣子，而小欣不知道，但是你們感知的信息之間卻存在著一一對應的關係：
你心目中的旺財?小欣心目中的旺財；
你心目中的花園?小欣心目中的花園。
因而你們獲得的抽象圖樣是一致的：一隻個抽象的狗位於一個抽象的花園中。
所以說，中文、英文、腦海中的圖片，它們之間有千差萬別，但是正是因為這種一一對應關係，它們都必然對應著相同的結構：一種確定的抽象圖樣。所有的中文、英文、具體畫面，最終都是這種抽象圖樣的表達。
我們再來回憶一下第一部分第五章，
賈明子：5、用「幾何觀」看世界
在那裡，我們完成了一個很有趣的任務，把MJ的歌給畫成了一幅山巒起伏圖。我們曾經說過，其實如果我們找對了某一種一一映射的關係，那麼世間萬物都可以用幾何來表述：萬物皆可入「畫」。一切現實都可以用這種映射關係反映到幾何關係中去，因而一切現實都可以被畫出來。這個畫出來的圖形本身是一種對物理現實的抽象表達，然而說到底，這個圖形本身，卻是具象的：它畫在某種載體上，如紙上或電腦屏幕上。事實上，這個具體的圖形雖然是物理現實的抽象，但是它同時又是一種數學抽象圖樣的具體表達。
在這裡，音樂就代表了一個無數個音符的集合，這些個音符按照某種特定的關係串聯起來，最終通過某一種方式實現出來（例如鋼琴、吉他、小提琴、歌聲等等），形成聲波，傳到我們耳朵裏，使我們的耳膜振動，刺激我們的聽神經，最終到達我們的大腦，被詮釋為音樂。事實上，聲波的振動，就表現為空氣分子就是一種空間和時間中的圖樣（pattern）：什麼時刻、音樂廳的哪一個位置、空氣分子按照何種頻率的組合以多大的能量進行振動。這個聲波的振動，可以用波動方程嚴格描述出來。而再往上一層，就是樂譜。樂譜本身就是無數個音符按照相互關係排列組合形成的圖樣。
而這種圖樣，我們可以通過很多種不同的方式記錄下來：比如說，寫在五線譜上，刻在CD或唱片裏，錄製在磁帶裏，以數字文件的形式寫在硬碟裏或MP3播放器裏，用圖形記錄在頻譜曲線裏，等等等等，我們可以有無數多種記錄方式。所有這些記錄方式物理上都很不同，但是它們記錄的卻是同樣的一首曲子。
那麼，我們來看，CD盤面上細密的小坑，聲波中某個空氣分子的振動，磁帶中某處磁粉的密度，頻譜的某一幀曲線形狀，樂譜中某個蝌蚪一樣的符號，以及數字文件中某一串10010110……，它們是如此的不同，從真實的物理結構上，我們根本就不可能找到相似之處，它們是如何記錄了同樣的一首樂曲的呢？
一一映射。
沒錯，從數學上，我們可以把上述的不同物理形式按照某種規則建立起相互聯繫。CD上的某個小坑就對應了頻譜的某一段曲線，反之亦然。如此等等。既然它們互相之間都能建立起這種一一映射的關係，那麼很顯然，它們最終就可以被還原成同一樣東西：某種 「純粹」的、抽象的圖樣。這種圖樣可以不依賴於任何負載信息的介質 – 諸如五線譜、磁帶、唱片、數字文件、頻譜圖形，等等。任何一種上述的表達方式的缺失都不會使我們的音樂消失。但是音樂可以通過任何上述方式表達出來。這種圖樣就可以讓人們能夠演奏樂曲。我們絕不會因為毀壞了一張CD，就喪失了對音樂的概念。同樣地，這種圖樣也不依賴於任何理性活動的生物或非生物 – 人類、外星人、狗狗、貓咪等等一切，因為它並不是一個具體的事物，不必通過具象化的感知。
這種圖樣，就是音樂的抽象結構。這種結構，如果用我們的五線譜作為載體表述出來，就是「音符」之間的相互關係。就好像「旺財在花園裡」這個事實可以被表達為中文、英文、圖像、形式邏輯等不同語言一樣，所有這些唱片、數字文件、樂譜、頻譜等都是這種抽象音樂的具體表達。
我們前面講到過，「一一映射」，或者叫做「互射」，所代表的，就是兩種結構之間的拓撲同胚，或者說，是數學結構上的同構。我們在第一部分的第7章
賈明子：7、茶杯與甜甜圈之辨
講到過這種數學結構上的等價性。
這種貫穿於各種具體載體之間的、因而就不依賴於任何載體的、相互等價的數學圖樣結構，在某種意義上說，就是音樂的終極現實。
音樂這個東西從數學上講相對比較複雜，我們可以用最簡單的自然數作為例子來更加清晰地加以描述。結構主義認為，數學的抽象實在，體現在這樣一種抽象的結構圖樣中。具體的某個數學對象不必是一個獨立的真實存在，它們相互依賴，相互支撐，成為這種抽象圖樣中的某種特定節點，或「位置」，共同構建起了一個整體的結構。比如說自然數，整個自然數是從零開始，一個後繼數一個後繼數地遞歸定義上去的，1是0的後繼數，2是1的後繼數……，如此循環。因而自然數的整體就是這樣一種結構：一些離散的抽象「節點」（我們稱之為數字）排成一隊。自然界中一切離散的（或「可數的」）集合，包括具體事物或抽象事物，都有著同樣的這種類似結構。比如說一筐蘋果，我們對它們進行計數的過程，其實與皮亞諾算術公理就存在著類似一一對應的關係：
「存在一個自然數0」 ?「開始計數時還沒有數蘋果」
「0的後繼數定義為1」 ?「從零開始下一個蘋果是第一個」
「1的後繼數定義為2」 ?「第一個蘋果的下一個是第二個」
……
如此等等。
我們說所有的這些離散的實體，諸如一筐蘋果、一筐梨子、一班學生、一束粒子、一列級數、一組可數集、……，它們不論是具體事物，還是抽象事物，都有著與自然數一一對應的這種結構，因此它們就可以對應於一種更加抽象的、普遍的結構形式，諸如馮諾依曼定義：
{?}，{?，{?}}，{?，{?，{?}}，{?，{?}，{{?，{?}}}}}……
自然數的數學實在中的關鍵，不在於每一個自然數字的實在性，而是在於這種普遍存在於離散實體之間的抽象結構。每一個自然數脫離了這種整體結構，都變成了無源之水，而整個自然數的整體才體現了數學的實在性。
再比如說，你們剛剛學過的一次函數。現在你拿到一個一次函數：
那麼，你要如何具體地把這個函數表述出來呢？
當然，你可以說，這個函數式本身就是一種具體的表述形式。你們還學過列表和畫圖的方法。我們知道，函數式、列表、圖形，它們都是這個同樣的函數的不同表達方式：是這個函數所代表的數學結構的具體表現：
如果依賴於代數語言，它就表現為函數式，如果依賴於幾何語言，它就表現為函數圖形，如果依賴於表格，它就表現為列表。但是這三種具體的表現形式，都是某種數學結構的具體表達而已。
假如說，我們想要對某人傳達「旺財在花園裡」這個抽象事實的時候，我們需要用某種具體的表達方式，例如對中國人，我們說中文，對美國人，我們說英文，對一個數學宅男，我們可以跟他說形式邏輯表達式，對一個文盲，我們還可以給它看圖片。同樣一個抽象事實，可以有各種具體表達方式。如果我們遇到了一羣外星人呢？怎麼辦？假如說旺財在花園裡這個事實是客觀的，不會因為不同的物種而有所不同，那麼我們必然可以翻譯成某種「外星語」。我們總可以找到一種表達方式，能夠被我們的對象理解，而這種表達方式就和其它諸多語言一樣，是一種抽象結構的具體表象。
如果說，我們遇到的星人和我們感官完全不同，我們想向它們介紹一下我們的音樂，怎麼辦？鑒於它們沒有聽覺，我們沒有辦法向它們演奏。如果它們有視覺，我們可以給它們看頻譜，就像我們前面畫出來的沿著連續時間變化的頻譜曲線就構成了一座起伏的山巒。山峯的結構就代表了音樂的結構。它們就可以通過視覺來瞭解我們的音樂。如果它們沒有視覺，僅有味覺呢？我們也可以想辦法。比如說我們用酸甜苦辣鹹以及它們的連續組合來代表高低不同的音頻，那麼我們可以通過味覺的變化，把音樂編碼到味道當中，讓它們瞭解我們的音樂。如果說，我們的音樂本身不會隨著接受者的不同而有所不同，那麼即使是它們的感官系統和我們沒有任何重疊，我們也總是有辦法：因為我們面對著一個共同的外部物理世界。我們總可以利用拓撲同胚的原理，把我們的音樂編碼到某種它們可以感受到的物理載體裡面。例如如果它們可以直接感受磁場，那麼一盤磁帶就可以做到我們的工作。總而言之，音樂的「純數學圖樣」，纔是我們傳遞的信息。
所有的這些例子，它們的抽象結構都可以表達為各種不同具體表象，但是我們這個結論存在著一個假設的前提：
存在一個不依賴於感官的客觀現實。
因為只有這樣一個客觀現實的存在，才能構成兩個具有完全不重疊的感官系統的物種之間的橋樑。如果最終的所謂「現實」是依賴於感官，依賴於觀察者個體的，那麼我們和外星人眼中就會有完全不同的現實。我們的數學圖樣依賴於我們的經驗，而對方的，則依賴於對方的經驗，兩者是完全不同的：我們雙方的現實，毫無共通之處。甚至說，我和你的現實都是完全不同的，因為它依賴於你我的主觀世界。那麼它們之間的一一對應就被打破了，我們就不可能找到一種共同的抽象結構來找到不同主觀體驗者之間的共同客觀實在。
那麼，一個獨立於個體的客觀現實到底是否存在？秉承數學柏拉圖主義的答案當然是肯定的：是的。數學是一個不依賴於個體的存在，前面我們已經對此論述很多了，這裡不再重複。而數學本身的客觀性，就是客觀實在存在的明證：因為存在著這樣一種客觀的結構，它總可以與一部分物理實體形成一一映射，這就是物理現實的實在性。但是，持有結構主義觀點的人不滿足於此，他們還會更進一步，認為這個現實中只有數學實在，而沒有其它。比較著名的就是Temark的斷言：
如果存在著獨立的客觀現實，那麼這個現實必然是數學的。
這個，叫做「數學宇宙假說」（Mathematical Universe Hypothesis，MUH）。
前面提到，從早期柏拉圖主義到20世紀人們在數學中的邏輯主義和形式主義的影響下，漸漸地傾向於把數學與現實剝離開來，而把它看做一種純粹的形式理論，或是一種邏輯體系。它可以被自然科學拿來對現實進行表述，但是它本身卻不包含現實。
但是，數學工具本身所不包含的現實，指的是那些具體的物理實體。而Tegmark卻認為，物理實體本身不夠「實在」，因為我們必須要通過各自的感官來感知它。真正的實在，是物理實體背後的數學結構。
作為有效的數學模型所必備的一個特徵，就是與現實結構具有同胚性。也就是說，數學模型中的一部分概念與現實實體間有著一一對應的關係 – 只有這樣，數學的結果纔能夠對現實有正確反映。現在Tegmark站起來說，這種同胚性，本身就是把打上了我們主觀烙印的物理現實及其之間的關係抽象出來成為一種「客觀」的數學圖樣。這即是最終極的現實：物理實體之間的結構（structure）和圖樣（pattern）。而具體的物理實體，反倒不能算作「現實」。因為物理實體總是依賴於觀察和主觀概念，但是數學的抽象結構卻不必。
比如說，我們非常習慣於我們人類的視覺，但是，我們所能感知的五顏六色，僅限於可見光，其實是一個很寬的光譜中極小的一小部分，紅外和紫外都是我們看不到的。並不太令人驚奇的是，其它的很多動物它們感受光的範圍和人類不盡相同。例如，蜜蜂的感知就偏向於紫外線一些。因而它們看到的，就和我們很不同。我們無法想像看到紫外線是個什麼感覺，但是我們可以通過人類的體驗來「模擬」這種感覺。比如說一朵花兒，我們看到的是一朵純色的黃花，而蜜蜂，由於它們的視覺偏向紫外，那麼它們可能分辨不清楚黃色是什麼，但是它們會明顯地看到花心附近的紫外線（這可以使得它們更方便地採蜜），因此它們看起來，就是一朵雙色的花兒 – 不管怎樣，反正不是黃花。
那麼，如果蜜蜂能夠和我們對話，談論這朵花，那麼我們和蜜蜂之間就很難達成共識。如果我們考慮更多的有著不同感官系統，那麼大家的分歧就更大了：
人：一朵黃色的花。
蜜蜂：一朵雙色花
狗狗：什麼是顏色啊？
蝙蝠：什麼是花？明明就是一堆超聲波！
機器人：你們都錯了，這是一堆二進位的數字串！
每個人眼中，都以一個只依賴於自己的現實，那麼我們就不禁懷疑：離開了人們的感官，這朵花到底「客觀上」是什麼？存不存在一個不依賴與感官的「客觀現實」？
所幸的是，我們現在的科學理論暫時能夠給出一個大家都認可的現實：電磁波的光譜。我們雖然無法體驗紫外視覺或者紅外視覺，狗狗雖然不知道紅綠是什麼，但是當我們把這朵花反射的太陽光的光譜列出來，大家都會毫無疑義。這是靠「電磁波」這種比顏色更加抽象的實體、用數學結構（傅裏葉變換）表達出來的一種對現實的描述。它離開了人們直接感官，反而更加「客觀」。
那麼，電磁波又是個神馬東東？我們需不需要更加抽象的概念來描述它？這就是MUH的關鍵。
那麼，Tegmark這樣說，如果存在著一個獨立於任何個體的客觀世界，那麼，這個客觀現實必然是不依賴於任何個體所產生的具體概念表象的。例如，我們說，宇宙是由各種微觀粒子組成的 – 光子、電子、夸克、中微子等等。但是我們必須知道，所謂的這些微觀粒子都是我們人類的主觀意識賦予這個現實的具體概念，因而它們都是依賴於人的意識而存在的，它們就不可能是獨立的客觀現實。描述它們運動的薛定諤方程，依賴的是我們的抽象數學體系，函數、矢量、微分方程等等，它們不涉及任何我們經驗中的具體事物，不依賴於我們的觀察，因而是獨立的。
而這些數學概念的更底層，就是連數學形式都不依賴的、抽象數學個體之間的關係，也就是數學圖樣。數學圖樣可以看做是一組抽象個體以及這些個體之間的相互關係。例如說，自然數就是這樣一種數學圖樣：它包括了一系列的抽象個體：每個自然數，以及自然數之間的相互關係。其中的抽象數學個體，例如說自然數5，我們雖然在不同的語言和符號載體下，有著不同的具體表象，例如說阿拉伯數字5、漢字五、英文five、希臘數字V、或者二進位數字101等等，在形式主義中的數學概念都是依賴於具體的形式體系的 – 數學即形式體系。而柏拉圖主義關注的，卻是那些脫離了形式系統的、最終所指的、被冠以自然數概念的那個抽象的自然數。這些抽象自然數個體，既不依賴於具體實體，也不依賴於具體的符號系統。只有這種數學圖樣，纔是不依賴與我們人類的，因而只有它們才稱得上客觀現實。所以，這就有了這樣一個看似矛盾的結論：所有對現實進行具體描述的，都不能稱為現實，只有那些不對現實進行直接描述的，纔可能是現實。這種不直接描述的方法，就是抽象數學結構。這就是MUH的由來。
Tegmark接著對人類的各學科的知識結構做出了這樣一種闡述：
人類的科學體系是一層層建築起來的，每一層的科學都是建築在它上一層的基礎之上的。所有的這些科學理論，往往都包括了兩個部分：
一個是數學；
另一個是這些數學的使用手冊。
具體講，每個理論的數學部分，對這個理論所涵蓋的物理實體的運動行為作出了定量化的描述。但是，單單是面對著一個個裸奔的數學公式，我們並不能獲得關於物理實體的任何知識。因此，在這些數學公式之外，我們必須要附加對這些數學公式必要的詮釋 – 這些數學概念對應的是什麼樣的物理實體。有了這種詮釋，我們纔能夠根據數學計算的結果，對真實世界作出描述。例如說，在已經確立起來的量子力學形式理論（「裸」量子力學）的公理中，包含了這種數學：薛定諤方程、希爾伯特空間、本徵值問題等；也同時包含了若干條這樣的詮釋：波恩規則、量子態和可觀測量的含義、波函數坍縮等。這樣的數學和詮釋都是這個理論所必要的：數學給出定量結果，詮釋把這些抽象的數字和現實聯繫起來。
在這個知識體系中，每一層都湧現出相比於上一層更多的概念。於是，層層加碼，表現出來的的就是，這個知識樹中，越往下的部分（越具體的理論），其理論過程中包含的「詮釋」部分就越多，而相應地，這些概念就越貼近我們的經驗，越具象。反之，越往上的部分（越基礎的理論），則這種詮釋就越少，就越接近裸奔的抽象數學。例如說心理學、社會學這些學科中，就幾乎沒有什麼數學在裡面。再往上的一些工程學科中，數學甚多，但是基本上對應的都是非常直觀的概念。到了經典力學和統計力學這一層，已經有很多抽象的數學概念了，比如說系統的運動對應於高維相空間中的一個點。再向上量子力學，詮釋的部分已經很少了，哪怕我們不要什麼詮釋，只是shut up and calculate也絲毫不會阻礙人們應用量子力學。而人們甚至不知道波函數究竟是個什麼東東了。我們的討論範圍並不包括更加基礎的理論，量子場論中，粒子都已經不再是基礎概念了；而廣義相對論中，時空則是一種幾何。現在我們的科學理論，還是分成了兩個暫時無法相容的部分，一個就是量子理論，另一個就是相對論。量子理論對微觀世界以及電磁、強、弱相互作用有著很好的解釋，但是卻對引力無能為力。而相對論則相反。人們正在試圖建立一種終極理論，它包含一切事物的運動，這種理論一般被稱作大一統理論（Theory of Everything, TOE）。而Tegmark這樣說：
「……a TOE would probably have to contain no concepts at all. In other words, it would have to be a purely mathematical theory, with no explanations or「postulates」 as in quantum textbooks」 (大一統理論可能必然不包含任何概念。也就是說，他應該是一種純數學理論，沒有「詮釋」或者量子力學課本中的那些「公設」。)
這樣一種純抽象的，沒有任何源自經驗概念的數學理論，就是Tegmark心目中的終極理論，它所描述的，就是MUH中的終極現實：數學結構。
我們可以看到，這種不依賴與實體概念而自在的抽象現實，似乎跟康德主義有些類似。康德的「物自體」就是剝離了具體性質的、獨立的、自在的、抽象的存在。由於物自體無關主觀，因而它永遠不可能被人們真正認識。
但是，我的理解是，MUH和「物自體」事實上是不同的。Tegmark的數學宇宙，並不需要一個我們無法觸及的純粹客體。它其實是在說，根據我們的感官和觀念不同，我們每個人所接收的「現實」可以是完全不同的，但是，所有這些不同的、在主觀上的映射的現實，它們必定是存在一一對應關係的，這種一一對應關係是不隨主觀變化的（所謂客觀），也就是同胚的。那麼，我們把這種一一對應關係抽象出來，就是數學圖樣的結構。
這種數學結構，我覺得它更像老子所說的「道」。《易經》裏說：
「形而上者謂之道，形而下者謂之器」。
這裡，所有一切的實體概念，都是「形而下者」，它們包括那些具象的、我們直觀可認知的東西；還包括那些不是具象的，但是通過具體的形式表達的符號系統，它們是「器」。而MUH的數學結構，這是那個「形而上者」，時它們背後的抽象結構，是「道」。那個終極的現實，就只包含抽象實體，而不包含任何的，我們直觀可理解的東西 -- 所謂「道可道非常道」。
當然，我們的數學結構最終仍然要以某種符號體系表述出來，並且它最終仍然是建立在我們人類的概念系統之上的：它至少是建立在集合、映射這兩個概念、以及形式邏輯之上的。集合代表了存在，映射代表了相互關係，而邏輯則是這個數學結構的映射在人類思想中的思想結構基礎：這就是追根溯源我們所能達到的極致。但是不論集合還是映射，都是可名之名；不論數學還是邏輯，也都是可道之道。更往上一層，我們只能去想像、去意會那種不依賴於任何數學體系的「數學結構」、那種在我們主體所能想像之外的客體以及客體之間的相互關係，畢竟我們的思維是不可能脫離我們的邏輯系統的。因而我們就進入了玄妙的哲學世界。而在數學家看來，這種玄之又玄的境界恰恰是毫無用處的。
畢竟物理最終還是要建築在實證之上的，而但凡涉及實證，就不可能是拋開實體概念的純粹抽象理論。數學是要建築在邏輯之上的，我們的數學永遠不可能超越邏輯而存在（當然直覺主義可能不這麼認為）。按照MUH的這種觀念，必然存在著超越實證的數學抽象實在，對此我們稍加引申，那麼必將存在更加終極的現實，它甚至是不依賴於邏輯概念的。那個終極的、因而也就是脫離了邏輯的現實，可能將永遠在彼岸 – 終於，兜了一大圈，我們繞回來和康德的觀念不謀而合。
現在，我們對數學的若干關鍵流派：古典柏拉圖主義、康德主義、形式主義、邏輯主義、數學柏拉圖主義（包括純血柏拉圖主義和結構主義）做了一些簡單的介紹，你更加喜歡哪一種？
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