更進一步的形式系統的構建對於自然數的依賴性問題。這是一直困擾題主的問題，題主認為符號的存在本身就蘊涵了自然數的概念，例如"x"這個符號本身就蘊涵了"1"的概念（獨立的認知實體？），而"x"，"y"這"不同"的符號則蘊涵了"1"和另外的"1"，或者可以說"2"，以此類推。還請各位大佬給出具有啟發性的回答。

我們建立公理系統的形式語言的行為是發生在某種元語言下的。如果採取本體實在論的觀點，題目中提到的依賴性就顯得不那麼重要，無論是形式語言中對自然數的刻畫還是解釋形式語言的元語言對自然數（隱式地）使用，都是對同樣的數學實在進行刻畫。你當然可以認為當「x」「y」作為元形式符號在符號表中列出時，就在隱式地使用自然數及其計數，但這種隱式對本體實在論者來說不造成什麼問題。

下面提供一種自己傾向的本體唯名論的觀點。

當形式語言的符號表是有限的時候，個人傾向於不認為自然數被隱式地使用了，我們可以列出所有在形式語言中出現的形式符號，而這與自然數沒有任何關係，使用後繼、加法和乘法對自然數的刻畫都可以不具備。

當形式語言的符號表是可數的時候，就很難避免（隱式地）使用自然數的計數了（即便如此，我們使用到的可以僅是隻有後繼一種函數詞的弱算術系統）。此時，我們可以在一個元元語言中形式化元語言中的自然數以及計數（這個系統可能比最初的形式語言更強），這種做法可以參考Stephen Kleene的Introduction to Metamathematics。這樣的元元語言的符號表是有限的，按照前面的討論，我們就可以迴避自然數在元語言中被隱式地使。附帶一提，如果有其他數學對象在元語言中可能會被隱式使用，那也可以嘗試在元元語言中形式化它，甚至還能在元元元語言中形式化元元語言，不停地（按需要）做下去直到一個不可再形式化的相對模糊但在使用適當使用時能夠達到你想要的表達精度的語言U語言為止，這種想法來自Curry Haskell的Foundation of Mathematical Logic。另一方面，下面的一位匿名答主也提到了，在建立形式語言時是很難迴避自然語言的（比如中文或英文），但如果我們持有對自然語言是能夠清晰無誤地表達一串由「符號一個一個列下去」形成的符號序列的信念的時候，那麼自然語言（對這個問題來說）就可以是U語言。雖然此時我們隱式地使用了自然數，但這種隱式使用不會對我們建立形式語言的嚴格性產生太大影響，我們也可以直接將自然語言作為元語言來解釋具有可數個形式符號的形式系統。

當形式語言的符號表是不可數的時候，由於自然語言很難準確而精鍊地解釋不可數的情況，我們使用一種（比較強的）形式系統作為元語言（如ZFC）則是常規的操作。

歡迎討論。

如果你覺得"空集"本身蘊含自然數，那就沒話說了。

發表點個人拙見，題主說的自然數可能指的是類似序數的東西？現代公理體系，當然我只知道ZFC那就拿ZFC舉例子，ZFC規定了怎樣構建集合，而有了這種方式自然可以在其上遞歸定義序數0=?和n+1={n}∪n，從這個角度自然數是公理體系的結果而不是構成，除非你能證明自然數與幾條公理等價。

剛好看到作為一個民間哲學愛好者提些偏門的想法望有助益，僅供參考。

　　介由康德的觀點來說一個理論的得以實現必然是建立在有效的現實上的，那麼對於哲學而言首先必然有哲學存在的前提，也就是康德所說的先驗性而個人認為則是客觀實在性。理性本質上恰恰不是現實的而是以認知為表徵的這個有效性的虛體認識，數學則正好對應了這個理性的虛體性本質，也就是對於自然存在物這個自體而言理性的可數與不可數都是允許的，但對於數學而言其前提就是以對象的可數性作為先驗性必然，而數學中的公理系統所基於的基礎就是可數的規律性，不論是跳著數、挨著數、按倍數數等等，數學存在的本質就是數序的必然，數序的自然本質就是世界本身不可停止的運動，如果世界是簡而可見的那麼世界只存在自然數甚至不用加減乘除，因此公理的構建個人認為是以有效的規律相關性為基礎的邏輯關係建立，本原上都是異化的自然數序規律間的自洽，但由於任何可數方式的基本都是自然數序的同一性，所以依賴自然數實際上就是依賴自然數序本身。

近代數理邏輯已經用集合論來重新嚴格定義了數域。所以應該說：自然數依賴於公理系統而存在。

這個知識點，數學系與哲學系都會講到。這已經是一百多年前的理論了，但很遺憾，你作為今時代的人，居然仍認為自然數是先驗的，你的知識仍如同千年前的古數學家。

形式系統又不是天上掉下來的，人總是要說話的吧？「而且」用不用？「然後」用不用？公式的歸納定義用不用？無限多個變元符號從哪來？無論如何在這個過程中或多或少都會用到人類自身固有的思維能力，假如我們承認形式系統是人類思維的創造，那就總有些東西先於形式系統存在。一般情況下，除去那些對infinitary logic之類的玩意有特殊興趣的人眼裡的「形式系統」，這些東西形式化之後就是PRA

但是，我們不必為此被迫做出任何本體論承諾。自然數可以不存在，它可以是我們語言中功能性的一部分，而123也好xyz也好並不實際指稱到什麼實在的東西，這完全取決於你的哲學立場。

另外，一個平凡的情況：只有有限的組成部分的形式系統並不依賴自然數的存在。

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