無限不循環小數為什麼不是無限循環小數？

小時候的一個猜想，不知是否有人替我解惑。無限不循環小數，既然它是無限的，那總可以找到循環的那個數列，例如：一個無限不循環小數0.121212312121235157…中，我可以發現12是循環的，但是我又看見了後面的3，於是我將3納入，又發現的1212123是循環的。如此往複，在無限不循環小數的無限個數裏，我總能找到循環的那個數列。由此，我得出無限不循環小數是無限循環小數，無限不循環小數的定義不存在？

1、如果被你找到了，只能說明這個數本身是有理數，只是被誤認為無理數。

2、無限不循環小數的存在是理論證明的，因為是不可能直接驗證的。理論上是先證明：兩個整數的商一定是有限小數或者無限循環小數。再證明每個無限循環小數都能用兩個整數的商表示。接下來證明存在某個數不可能等於兩個整數的商。那麼這個數就一定不是有限小數或者無限循環小數。

歷史上的第一個被證明的無理數是，古希臘人就完成了證明，不過他不為當時人們所接受，因此被扔下大海。

寫在前面，我不懂，不是數學專業。

但有自己的大概思考。

比如2開根號。

印象中大部分開根號沒有有限解的數都是無限不循環，這裡面有個玄機。

就說2開根號吧。

起初，大概是初中第一次邂逅開根號時就覺得，這個挺有意思的耶，哪個數平方是2，反過來想，我知道4是2的平方，9是3的平方，突然來個2的開根號，誰平方是2呢，這你讓我上哪找去，讓我有點措手不及呢~

可以用試的方法，比如1.1 的平方是1.21，不夠2; 1.5平方是2.25，大過2了，所以答案就在 1.1 到 1.5 之間。

可以用計算機不斷模擬，比如1.3平方1.69, 1.4平方1.95, 1.45平方2.1，大於2；所以答案在1.4到1.5之間。

最後你可以逐漸逼近所謂的正確答案，1.4142135623730951，其實這不是正確答案，正確答案只能逐漸逼近，永遠不可達。

這個過程也有一個著名演算法，之前在維基百科看過，忘了。

其實對於開根號運算，無論是開幾次方根，你只能逐漸逼近，沒有固定模式。

那麼，對於一個逐漸微調的過程，而且是逐漸縮小的過程，而且是沒有規律的，無線循環小數顯然不符合這樣的逼近過程，因為開根號需要沒有規律地逐漸微調，循環小數想想都做不到(這裡的"想想"，背後需要嚴格的證明，我現在只是感覺做不到)，我才理解，為何大部分開根號沒有有限解的數都是無限不循環小數的。

This is it~

舉個例子

劉維爾數：

你找得到循環節嗎

無限循環小數是分數，也就是有理數。而無限不循環小數是無理數，無法用分數表示。兩者之間有質的區別。按題主所說，無限不循環小數總可以找到循環節，只是會很長罷了，我舉個例子吧，無限循環小數就像脫光衣服的美女，一目瞭然，而無限不循環小數就像個一直在脫衣服卻永遠也脫不完的美女，你永遠也不知道她的果體是什麼樣子，何來循環節一說呢。

你總能找到？你找個試試？

循環節要有限長，並且一直循環。

問題中「發現」的都不是循環節

簡單來說就是沒有規律不循環的無限小數叫無限不循環小數，而有規律的循環小數叫無限循環小數。

循環小數的定義是有沒有循環節，不是你能不能找到循環節，有就是循環小數，沒有就是不循環小數，兩者沒有交集。

題主你對無限可能有點誤解，無限所有可能性

你先假設x=0.12...是無限不循環,然後找到循環字串,這就是反證.

反證說明你的證明過程中有謬誤,"假設x不循環"和"如此往複,總能找到循環的數列",兩者相比,後者更不符合情理.

找到的循環數列長度n是無窮大,而不是有限值.

這樣一直下去，會不會出現這麼一種情況，就是無窮處那一位恰好破壞了前面的循環。還是剛剛那個小數0.121212312121235157…n......，按照假設，可以發現12是循環的，但是又看見了後面的3，於是將3納入，又發現的1212123是循環的。如此往複，，到第n位將n納入，但是將n趨於無窮就會從直觀上發現，構造的這個循環小數卻找不到循環節。。。因為它總是把已有的循環部分打破。。。那這個小數又怎麼能叫循環小數呢。