MP42：從經典力學到量子力學(3)：位置運算元、Pontryagin對偶、位置/動量運算元的性質

本講繼續討論Hamilton力學的量子化。首先討論位置運算元問題。由於歸一化波函數的模平方就是概率密度，我們可以把波函數模平方的測度積分拆解為Hilbert空間的自內積，然後加入位置，成為位置的數學期望。進一步，可以得到位置的任意階矩的內積表達式。這一表達式最後被歸納為位置算符。

結合上講討論的動量算符，我們可以比較經典Hamilton力學的位置/動量和量子力學的位置/動量算符。我們發現，位置算符構造空間上的加權平均（一階矩），而動量算符通過Fourier分析構造頻率上的加權平均（一階矩），他們之間更深刻的聯繫是調和分析中的Pontryagin對偶。

最後還研究了位置運算元/動量運算元的一些性質，主要是：它們都不是有界自伴運算元，而是稠定子空間上的對稱運算元，也是本質自伴的。這裡湧現了大量的運算元方面的性質，使我們注意到今後詳細學習線性運算元理論的意義。

Hamilton力學建立在相空間上，相空間是廣義坐標微分流形的餘切叢。這個餘切叢中的點就是廣義坐標和廣義動量的聯立坐標。可見，坐標和動量是非常基礎的概念。在量子力學中也有相應的類比。前面解決了動量運算元的問題，現在我們結合位置運算元一起來分析。

位置運算元

位置運算元的概念易於理解。若粒子可能出現的集合為，按照過去定義的Hilbert空間

波函數是定義在位置上的復值函數

任意位置上的波函數值的模平方

$overline{psi(x)}psi(x) = |psi(x)|^2$

為找到粒子的概率密度，波函數的概率歸一化相當於Hilbert空間中對自身的內積：

$langle psi, psi angle = int_Omega overline{psi(x)}psi(x)dx = int_Omega |psi(x)|^2dx = 1$

概率密度給出了粒子位置的加權平均，權重即為概率密度：

$int_Omega xoverline{psi(x)}psi(x)dx = int_Omega x|psi(x)|^2dx = E(x)$

其中即為位置的期望(expectation value)，也叫一階矩，進一步可以寫成

$E(x) =int_Omega overline{psi(x)} xpsi(x)dx$

實際上這樣的結構對任意階矩也成立，即

$E(x^m) =int_Omega overline{psi(x)} x^mpsi(x)dx$

如果把被積分項中的整體視為一個復平方可積函數，即

那麼期望值寫為

$E(x^m) =int_Omega overline{psi(x)} q_m(x)dx = langle psi, q_m angle$

位置運算元(position operator)就是這樣一個映射

可以證明

於是，位置運算元的作用就是對位置求期望值，並且在複合映射下求高階矩：

位置與動量

Hamilton力學的相空間由位置和動量構成：

MP40：從經典力學到量子力學(1)：Hamilton力學、可觀測量、本徵態

從相空間的一個狀態，可以通過簡單的兩個函數

得到實值的位置和動量，稱它們為位置函數和動量函數。

按照前面介紹的原則，Hilbert空間中的量子態，可以被運算元映射為另一個態。我們在前面也得到了兩個運算元，它們的映射方式為

$(P psi)(x) = -ihbar frac{dpsi(x)}{dx}$

這就是對應上述經典力學的位置函數和動量函數的，所謂的位置算符和動量算符。今後我們將持續研究這兩個運算元。

Pontryagin對偶

上講我們闡述了動量算符的構造過程：

MP41：從經典力學到量子力學(2)：經典駐波的量子化、動量運算元、Fourier分析

其中提到動量算符的特徵值問題：

$P = - ihbar frac{d}{dx}$

它以 $psi_i = e^{ikx}$ 為特徵向量函數，對應著整數（實值）特徵值，即：

我們還了解到Fourier分析講特徵值所取的連續化，於是可以類比位置算符的作用：

位置算符和動量算符都具有了構造一階矩運算元（加權平均運算元）的類似結構，一個在位置空間上，一個在頻率空間上，在這個意義上，它們具有某種對偶性。實際上，位置算符和動量算符的這種對偶性歸結於抽象調和分析中重要的Pontryagin對偶(Pontryagin Duality)，它將Fourier分析推廣到局部緊Abel(LCA, Locally Compact Abelian)群上。將來有機會講調和分析的時候可以詳細討論各種不同形式的Fourier分析在Pontryagin對偶意義上的統一。

運算元的性質

在缺乏系統的線性運算元理論的基礎時討論運算元的性質有點勉為其難。我們現在可以理解為：

有界自伴的運算元具有良好的譜性質，可以簡單地按照過去的方式按照實數特徵值分解，得到相應的本徵態，從而具有明確的概率解釋。然而，量子力學中大部分運算元，包括最基本的位置運算元和動量運算元都不符合有界自伴的條件。後面將學習大量的線性運算元知識，研究對稱運算元、稠定運算元、本質自伴運算元等特殊的運算元，嘗試讓這類特殊的運算元具有某種類似於有界自伴運算元的特性，從而可以解決量子力學的本徵值問題。

這裡我們只能略微討論一下，讓大家了解到後面大篇幅學習運算元理論的意義。類比經典Hamilton力學，我們了解到位置運算元和動量運算元在量子力學中的基礎性地位。我們研究的第一個麻煩在於，這兩個運算元都不是有界運算元。它們都算不上是定義在整個量子態的Hilbert空間上的。