我們過去學過的經典力學主要包括Newton力學、Lagrange力學、Hamilton力學三種形式。本文主要闡述從Hamilton力學過渡到量子力學

的理解，其中的詳細闡述請參考：

MP14：Lagrange力學

MP15：Legendre變換

MP16：Hamilton力學

這講開始，我們將從Hamilton力學開始，逐步過渡到量子力學及Schr?dinger方程，從而讓我們建立最初步的對量子力學的物理認識，以便在進一步討論線性運算元的時候有明確的概念。

這講先回顧Hamilton力學的構建過程，複習一下相空間、廣義坐標/廣義動量所構成的系統狀態、相空間上的實函數這些基本概念。然後，我們先介紹可觀測量。Hamilton力學上用相空間上的實函數表示可觀測量，而在量子力學中則需要用到Hilbert空間上的自映射運算元。

我們類比了經典力學和量子力學的這些概念。可觀測量在經典力學中十分平凡，而在量子力學中就需要特別重視了。我們轉而研究量子力學中的本徵態，並且從統計上對其加以詮釋。

過去我們講到量子力學最基礎的Schr?dinger方程大體上講的是

粒子在勢場 V(r) 中運動，令Hamilton算符為：

H=-frac{hbar^2}{2m} abla^2 + V(r) 則Schr?dinger方程寫為：ihbarfrac{partial psi}{partial t} = Hpsi

這個結果從數學和物理上都來源於經典力學中的Hamilton方程。我們將逐步從經典力學過渡到量子力學。現在我們先從Hamilton力學的構造開始。

經典Hamilton力學

在廣義坐標的切叢 TM 上，按照Hamilton作用量原理的運動軌跡滿足Euler-Lagrange方程。在保守系統中，按照動能和勢能的差如下定義實值標量函數場

TM o mathbb{R}

L(q,dot{q})=T(dot{q})-V(q)=frac{1}{2}mdot{q}^2-V(q)

它就是一個Lagrange量。對Lagrange量 L 定義共軛動量

p^i = frac{partial L}{partial dot{q}_i}

經過Legendre變換得到以下實值標量函數場

T^*M o mathbb{R}

(q,p) mapsto H(q,p) = T(p) + V(q)

稱為Hamilton量。這裡的餘切叢 T^*M 稱為相空間。相應地，E-L方程在相空間的表現形式是對等的Hamilton方程

egin{cases} frac{partial H}{partial p^k} = dot{q}_k \ frac{partial H}{partial q_k} =- dot{p}^k end{cases}

可觀測量

在量子力學中往往以可觀測量(observable)指代物理量(physical quantity)。經典力學中，可觀測量/物理量都是可以用實驗測得的實數，可以用定於於物理系統狀態的實函數表示。在量子力學中，物理系統的狀態稱為量子態(quantum state)，而可觀測量與狀態的關係不再那樣簡單，可觀測量需要用自伴運算元來表示。

相空間中的狀態與可觀測量

在經典力學的系統里，任何可以用實驗測量獲得的可觀察量，都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。經典Hamilton力學中，研究的都是相空間/餘切叢 T^*M 上的光滑實標量函數（場）：

T^*M o mathbb{R}

將這樣的函數場的集合記為

mathscr{X} = C^infty(T^*M)

在經典力學中，給定一個實函數

A in mathscr{X}

那麼系統狀態 (q,p) in T^*M 可以決定物理量 A(q,p) ：

A: T^*M o mathbb{R}

(q,p) mapsto A(q,p)

於是實函數 A in mathscr{X} 就是經典力學中的可觀測量。

Hilbert空間中的量子態與可觀測量

前面我們談到，在量子力學中，按照Hermite內積在測度上的積分定義內積 langle cdot, cdot angle

langle phi, psi angle = int_Omega overline{phi(x)}psi(x)dx

則構成波函數的平方可積函數空間 L^2 是復Hilbert空間。

MP39：量子力學中的內積結構

按照Dirac符號，右矢(ket)就是相當於無窮維列向量的量子態。在量子力學的語境中，可以把上述平方可積函數空間記為

mathscr{H} = {psi angle} = L^2langle cdot, cdot angle

Hilbert空間 mathscr H 是量子態 psi angle 的集合，它對應著經典Hamilton力學中由狀態 (q,p) 構成的相空間 T^*M 。量子態的可觀察量可以用自伴運算元來代表。與經典物理量 A in mathscr{X} 相對應的是 mathscr{H} 上的一個自伴運算元：

hat A : mathscr{H} o mathscr{H}

psi mapsto hat A psi

它是量子力學中的可觀測量。

經典力學與量子力學的類比

可觀測量和運算元都是一開始不容易理解的概念，以下的類比有助於理解：

  • 狀態：經典狀態 (q,p) vs. 量子態 psi angle
  • 狀態空間：相空間 T^*M vs. 量子態空間/Hilbert空間/復平方可積函數空間 L^2
  • 可觀測量：相空間上的實函數 A in mathscr{X} vs. 量子態的自伴運算元 hat A : mathscr{H} o mathscr{H}

粗略地說，經典力學中通過一個實函數就可以由確定的狀態得到確定的可觀測量，這樣的好事在量子力學中沒有了。我們需要藉助線性運算元、譜分析等泛函分析的技術，從運算元角度研究量子力學中可觀測量的性質，得到我們需要的結果。這些技術將在後面詳細展開，系統講解數學技術之前，先介紹一些必備的物理概念。

本徵態與概率幅

注意：

  • 數學上的運算元 = 物理上的算符 = operator
  • 數學上的特徵 = 物理上的本徵 = eigen

今後不作區分。由於Hilbert空間 L^2 上的特徵向量是復平方可積函數，也是波函數，故我們也不區分特徵向量、特徵函數、特徵波函數、本徵態。

若物理量 A 是量子系統的可觀測量，對應的量子算符為 hat A ，可能存在一組不同的本徵值/本徵態：

(lambda_i, |e_i angle), i = 1, 2, dots

這些本徵態構成正交歸一基，從而可以將任何量子態 |psi angle 展開為：

|psi angle = sum_i c_i | e_i angle

其中

c_i = langle e_i | psi angle 是線性組合的復係數，是在本徵態 e_i angle 里找到量子態 |psi angle 的概率幅(probability amplitude)，相應的概率密度為：

c_i^dagger c_i = |c_i|^2

測量與統計詮釋

根據量子力學的統計詮釋，可觀測量的量子算符可能有多個本徵值，測量的結果只能是其中一個本徵值，且本徵值出現的機會由以上的概率決定。測量的介入將會使量子系統的量子態改變為本徵態。以上面的量子態 |psi angle 為例：

|psi angle = sum_i c_i | e_i angle

算符 hat A 是Hilbert空間上的自映射，它作用於量子態 |psi angle 形成新的量子態 |phi angle ：

hat A : mathscr{H} o mathscr{H}

|psi angle mapsto |phi angle = hat A|psi angle

展開為：

|phi angle = hat A|psi angle = hat A | Big( sum_i c_i | e_i angle Big)

= sum_i c_i hat A | e_i angle

由於是在正交基 |e_i angle 上展開，每個特徵向量/基向量/量子態都對應了特徵值 lambda_i ，那麼算符 hat A 作用於特徵向量相當於讓特徵向量按特徵值縮放：

hat A | e_i angle = lambda_i | e_i angle

於是

|phi angle = sum_i c_i hat A | e_i angle = sum_i (c_i lambda_i) | e_i angle

從而將量子態 |psi angle按照係數 {c_i lambda_i} 展開。現在考慮運算元映射前後的量子態的相互關係：

langle psi | phi angle = langle psi | Big( sum_i (c_i lambda_i) | e_i angle Big)

= sum_i langle psi | (c_i lambda_i) | e_i angle

= sum_i (c_i lambda_i)langle psi | e_i angle

= sum_i |c_i|^2 lambda_i

以上求和相當於是按照概率密度 |c_i|^2 進行的加權平均，即將下式

langle A angle = langle psi | hat A | psi angle = sum_i |c_i|^2 lambda_i

定義為可觀測量 A 的期望。經過以上的推導，我們看到概率幅 c_i = langle e_i | psi angle 的統計意義，它決定了不同特徵值/本徵態的概率分布。

推薦閱讀：

查看原文 >>
相关文章