这应该是这个话题下最后的一篇文章了. 在小角度近似的情况下，上次得到的微分方程是：

frac{d^{2} heta}{d t^{2}}+kappa frac{d heta}{d t}+frac{g}{ell} heta=0

也可以写成 ddot{ heta}+kappa dot{ heta}+omega_{0}^{2} heta=0

现在猜一个解，这个解是 z(t)=A e^{j(p t+alpha)}

z(t)在复平面的图像，这是一个非常漂亮的函数，它在复平面旋转

其中 j^{2}=-1 , A 为振幅, p 与振动的频率有关. 将这个解带入等式，得到

left(-p^{2}+kappa j p+omega_{0}^{2} ight) z=0

由于 p 与振动的频率有关，所以不能为0，同时 omega_{0} 是一个常数，也不能为0. 但是实部和虚部必须同时为 0 才可以满足上式. 所以唯一的可能就是 p 本身是复数. 那么令

p=n+js

p^{2}=n^{2}-s^{2}+2 n j s

带入上式得到 -n^{2}+s^{2}-2 n j s+kappa j n-kappa s+omega_{0}^{2}=0 ,所以

frac{kappa}{2}=s , n^{2}=omega_{0}^{2}-frac{kappa^{2}}{4}

整理得到 z=A e^{j(n t+j s t+alpha)}=A e^{-frac{kappa}{2} t} e^{j(n t+alpha)}

现在取 z 的实部得到方程的解为 heta=A e^{-frac{kappa}{2} t} cos (omega t+alpha) .

这个解与方程的数值解是一致的，因为振幅在以指数形式不断衰减，最后趋向于0.

图片来自www.bing.com

这里的 n=omega ,所以 omega=omega_{0}^{2}-frac{kappa^{2}}{4} ,由于 T=frac{2 pi}{omega} ,所以由于 omega 变小，周期变长.

有风阻（橙色）和无风阻（蓝色）的周期vs振幅对比

References

[1] P. Mohazzabi and S. Shankar,Damping of a Simple Pendulum Due to Drag on Its String, Journal of Applied Mathematics and Physics 05, (2017). scirp.org/journal/Paper

[2] W.Lewin, Vibrations and Waves, MIT OpenCourseWare, (2004). open.163.com/movie/2004

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